Matematyka.pl

Dany ciąg o wyrazach \(\displaystyle{ c _{n}=+/-1}\) przy czym \(\displaystyle{ \frac{c _{1}+...+c _{n} }{n} \rightarrow 0}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow +\infty}\) (plusy i minusy występują "jednakowo często"). Czy stąd wynika, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty } \frac{c _{n} }{n}}\) jest zbieżny?

Nie

Nie wynika.


Idea jest taka: załóżmy, że \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) oraz dla czystego startu

\(\displaystyle{ c_1 + \ldots + c_N = 0}\)

i na tym etapie mamy już pewną sumę

\(\displaystyle{ S_N = \sum_{i=1}^N \frac{c_i}{i}.}\)

Powiedzmy, że stawiamy sobie warunek, żeby dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) było

\(\displaystyle{ \left| \frac{c_1 + \ldots + c_n}{n} \right| \le \varepsilon.}\)

Zastanawiamy się, czy można tak brać kolejne liczby \(\displaystyle{ c_{N+1}, c_{N+2}, \ldots}\) żeby bez złamania powyższego warunku dodać jeszcze jakąś wystarczająco dużą wartość do sumy \(\displaystyle{ S_N.}\) Spróbujmy wziąć pewną liczbę \(\displaystyle{ n-N}\) jedynek: \(\displaystyle{ c_{N+1} = 1, c_{N+2} = 1, \ldots, c_n = 1.}\) Żeby zachowany był warunek

\(\displaystyle{ \left| \frac{c_1 + \ldots + c_n}{n} \right| \le \varepsilon}\)

tzn.

\(\displaystyle{ \left| c_{N+1} + \ldots + c_{n} \right| \le n \varepsilon,}\)

to tych jedynek musi być \(\displaystyle{ n-N \le n \varepsilon,}\) czyli \(\displaystyle{ n \le \frac{N}{1-\varepsilon}.}\)

Jeśli więc weźmiemy ich \(\displaystyle{ n \approx \frac{N}{1-\varepsilon},}\) to jaki będzie to miało wpływ na sumę?

\(\displaystyle{ S_n - S_N = \sum_{i=N+1}^n \frac{c_i}{i} = \sum_{i=N+1}^n \frac{1}{i} \approx \ln n - \ln N = \ln \frac{n}{N} \approx \ln \frac{1}{1-\varepsilon} \approx \varepsilon.}\)

Jest to wystarczająco dużo: jako dalsze liczby można brać na przemian \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1,}\) tak żeby

\(\displaystyle{ \left| \frac{c_1 + \ldots + c_m}{m} \right| = \left| \frac{n-N}{m} \right| \xrightarrow{m \to \infty} 0}\) (a więc znów mamy prawie czysty start)

oraz \(\displaystyle{ S_m \ge S_n.}\) Całość można by było powtarzać, ale niestety musimy zapewnić, że

\(\displaystyle{ \frac{c_1 + \ldots c_m}{m} \to 0,}\)

więc \(\displaystyle{ \varepsilon}\) musi się zmniejszać do zera. Ale skoro \(\displaystyle{ S_N}\) udało się zwiększyć o \(\displaystyle{ \varepsilon,}\) to wystarczy tę sztuczkę powtarzać dla \(\displaystyle{ \varepsilon_k = \frac{1}{k}}\) i wtedy dla coraz większych \(\displaystyle{ m}\) faktycznie będzie

\(\displaystyle{ \left| \frac{c_1 + \ldots + c_m}{m} \right| \le \frac{1}{k} \to 0}\)

zaś \(\displaystyle{ S_N}\) będzie rosło o \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{k},}\) czyli dowolnie dużo.


W razie wątpliwości służę dowodem formalnym.