Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f(m)= \prod_{n \neq m} \frac{n^3-m^3}{n^3+m^3}}\)
(iloczyn nieskończony po wszystkich liczbach całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ n \neq m}\)).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(m)=\frac{2}{3} (-1)^{m+1} m!^2 \prod_{n =1}^m \frac{n+m}{n^3+m^3}}\)

Ustalmy \(\displaystyle{ m}\) , niech:

\(\displaystyle{ f(m)= \prod_{n \neq m}^{} \frac{n^3-m^3}{n^3+m^3} = \prod_{n \neq m}^{} \frac{n-m}{n+m} \cdot \prod_{n \neq m}^{} \frac{n^2+nm+m^2}{n^2-nm+m^2}}\)

rozpiszmy pierwszy iloczyn:

\(\displaystyle{ \frac{(1-m)(2-m)...(m-1-m)(m+1-m)(m+2-m)...m(m+1)...(2m-1)(2m)(2m+1)... \infty }{(m+1)(m+2)...(2m-1)(2m+1)... \infty } \cdot \frac{1}{3} \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2+nm+m^2}{n^2-nm+m^2}}\)

wszystko ładnie się skraca i zostaje:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot (-1)^{m-1} \cdot (m-1)! \cdot m! \cdot 2m \cdot \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2+nm+m^2}{n^2-nm+m^2}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ f(m)= \frac{2}{3} \cdot (-1)^{m-1}(m!)^2 \cdot \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2+nm+m^2}{n^2-nm+m^2}}\)

zajmijmy się teraz drugim iloczynem:

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2+nm+m^2}{n^2-nm+m^2}= \frac{m^2+m+1^2}{m^2-m+1^2} \cdot \frac{m^2+2m+2^2}{m^2-2m+2^2} \cdot ... \cdot \frac{m^2+m^2+m^2}{m^2-m^2+m^2} \cdot \frac{m^2+(m+1)m+m^2}{m^2-(m+1)m+m^2=m^2+m+1^2} \cdot ... \cdot \infty }\)

Jak widać wyraz \(\displaystyle{ m+1}\) na dole jest równy pierwszemu na górze, potem drugi na górze będzie równy \(\displaystyle{ m+2}\) na dole itd... w nieskończoność, a więc wszystko się poskraca i zostanie:

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ m} \frac{1}{n^2-nm+m^2}=\prod_{n=1}^{ m} \frac{n+m}{n^3+m^3}}\)

reasumując otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(m)=\frac{2}{3} \cdot (-1)^{m-1}(m!)^2 \cdot \prod_{n=1}^{ m} \frac{n+m}{n^3+m^3}}\)

wygląda na to, że w zadaniu jest pomyłka bo w tezie było: \(\displaystyle{ (-1)^{m+1}}\) a powinno być raczej: \(\displaystyle{ (-1)^{m-1}}\)

cnd...

azanus111 pisze: 28 gru 2025, o 13:25wygląda na to, że w zadaniu jest pomyłka bo w tezie było: \(\displaystyle{ (-1)^{m+1}}\) a powinno być raczej: \(\displaystyle{ (-1)^{m-1}}\)

No cóż, \(\displaystyle{ (-1)^{m-1}=(-1)^{m+1}...}\)

JK

W sumie dość ciekawe spostrzeżenie , choć ze względów estetycznych powinno być:

\(\displaystyle{ (-1)^{n-1}=(-1)^n=(-1)^{n+1}}\)

i wtedy bym wstawił ten środkowy co by wyładniło wzór...

azanus111 pisze: 28 gru 2025, o 14:53choć ze względów estetycznych powinno być:

\(\displaystyle{ (-1)^{n-1}=(-1)^n=(-1)^{n+1}}\)

Równie dobrze można powiedzieć, że ze względów estetycznych powinno być \(\displaystyle{ 1=-1.}\)

Względy estetyczne to słaba przesłanka.

JK

PS Swoją drogą

azanus111 pisze: 28 gru 2025, o 13:25rozpiszmy pierwszy iloczyn:

\(\displaystyle{ \frac{(1-m)(2-m)...(m-1-m)(m+1-m)(m+2-m)...m(m+1)...(2m-1)(2m)(2m+1)... \red{\infty} }{(m+1)(m+2)...(2m-1)(2m+1)... \red{\infty}} \cdot \frac{1}{3} \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2+nm+m^2}{n^2-nm+m^2}}\)

to dość "interesujący" zapis.

Masz rację mnie też to dość zainteresowało dlatego tak zapisałem...

Równie dobrze można powiedzieć, że ze względów estetycznych powinno być \(\displaystyle{ 1=−1.}\)

jak najbardziej tak być powinno...a nawet zachodzi to w ciałach: \(\displaystyle{ \ZZ_{2}}\)

Symbol nieskończoności jeżeli kogoś tam razi i rani jego uczucia to pragnę wyjaśnić, że nie jest to żaden operator działaniowy, lecz raczej horyzont zdarzeń, symbol ,motyw więc radzę liznąć troszkę semiotyki a nawet symboliki uniwersalnej...

azanus111 pisze: 29 gru 2025, o 12:07

Równie dobrze można powiedzieć, że ze względów estetycznych powinno być \(\displaystyle{ 1=−1.}\)

jak najbardziej tak być powinno...a nawet zachodzi to w ciałach: \(\displaystyle{ \ZZ_{2}}\)

Naprawdę? No popatrz...

No ale zadanie jest w \(\displaystyle{ \RR.}\)

JK

azanus111 pisze: 28 gru 2025, o 13:25 (...)

zajmijmy się teraz drugim iloczynem:

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2+nm+m^2}{n^2-nm+m^2}= \frac{m^2+m+1^2}{m^2-m+1^2} \cdot \frac{m^2+2m+2^2}{m^2-2m+2^2} \cdot ... \cdot \frac{m^2+m^2+m^2}{m^2-m^2+m^2} \cdot \frac{m^2+(m+1)m+m^2}{\red{m^2-(m+1)m+m^2=m^2+m+1^2}} \cdot ... \cdot \infty }\)

Jak widać wyraz \(\displaystyle{ m+1}\) na dole jest równy pierwszemu na górze, potem drugi na górze będzie równy \(\displaystyle{ m+2}\) na dole itd... w nieskończoność, a więc wszystko się poskraca i zostanie:

(...)

Ze względów estetycznych tak byłoby fajnie, ale matematycznie to raczej knot

Nie bardzo kumam co tu jest knotem?

Może uważasz, że to równanie jest fałszywe, to se przelicz...

`m^2-(m+1)m+m^2=m^2-m^2-m+m^2=m^2-m\ne m^2+m+1`

Ja wiem, że tam miało być cos innego, ale jak napisałeś takiego knota to go popraw

Poza tym nieskończone iloczyny kryją w sobie parę subtelności, które trzeba wziąć pod uwagę. Na przykład
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^\infty \frac{n+1}{n}}\) wcale nie jest równe `1`, mimo że takim wyrażeniu
\(\displaystyle{ \frac{2\cdot3\cdot4\cdot...}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot...}}\) prawie wszystko się skraca.

\(\displaystyle{ m^2-(m+1)m+(m+1)^2=m^2-m^2-m+m^2+2m+1=m^2+m+1}\)

Tak miało być zwykła pomyłka a nie knot , raczej nie wytaczaj armat, wystarczyła drobna uwaga lub korekta...

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{n} =\lim_{m \rightarrow \infty } \prod_{n=1}^{ m } \frac{n+1}{n} =\lim_{m \rightarrow \infty } (m+1)= \infty }\)

jak o takie subtelności ci chodzi to wyrażaj się jasno...

azanus111 pisze: 4 sty 2026, o 01:06

Tak miało być zwykła pomyłka a nie knot , raczej nie wytaczaj armat, wystarczyła drobna uwaga lub korekta...

Dostałeś informację gdzie jest źle (fragment na czerwono) i w odpowiedzi napisałes aroganckie "... se policz"?
Jak widać, drobna uwaga nie wystarczyła.
A poza tym należy jeszcze odpowiednio (czytaj poprawnie) zapisać ten kawałek licznika.

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{n} =\lim_{m \rightarrow \infty } \prod_{n=1}^{ m } \frac{n+1}{n} =\lim_{m \rightarrow \infty } (m+1)= \infty }\)

jak o takie subtelności ci chodzi to wyrażaj się jasno...

Czekaj czekaj, zrobiliśmy dokładnie to samo: i Ty i ja "skróciliśmy" ogony nieskończonych iloczynów (nota bene nie wnikając w to co takie nieskończone iloczyny znaczą z punktu widzenia matematyki), U mnie to nie zadziałało, co bardzo ładnie wykazałeś.
Pewnie sam dostrzeżesz czego zabrakło w Twoim rozumowaniu

Jednak logika uczy, że nawet z błędnych przesłanek otrzymujemy dobre wyniki (implikacja), więc skoro doszedłem do takiego wyniku jak w tezie zadania to odpuściłem, co inne jakby pisało: "uprość wyrażenie" , więc pomyślałem sobie, że nawet jak są pewne niuanse i się ładnie znoszą i wynikowo nie brużdżą to dałem se siana , czasem errorum summa daje w wyniku null errorum , a za to mi nikt nie płaci...

azanus111 pisze: 4 sty 2026, o 15:22czasem errorum summa daje w wyniku null errorum

Jak studentowi "summa errorum" daje "null errorum", to dostaje za zadanie \(\displaystyle{ 0+0=0}\) punktów.

Sam poprawny wynik w matematyce to za mało.

JK