Podzbiór przestrzeni
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11581
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
Podzbiór przestrzeni
Czy istnieje podzbiór przestrzeni, który ma z każdą płaszczyzną część wspólną niepustą, ale będącą zbiorem skończonym
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Podzbiór przestrzeni
Tak. Przykładem takiego zbioru jest
\(\displaystyle{ T=\{(\varepsilon_1 t, \varepsilon_2 t^2, \varepsilon_3 t^3): t\in\RR, \varepsilon_i\in\{-1,1\}\}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ \Pi}\) jest płaszczyzną dana równaniem \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\), to \(\displaystyle{ \Pi \cap T}\) jest zbiorem rozwiązań rzeczywistych ośmiu równań wielomianowych \(\displaystyle{ A\varepsilon_1 t+ B\varepsilon_2 t^2+ C\varepsilon_3 t^3+D=0}\), a zatem jest skończony.
Trzeba jeszcze pokazać że ten zbiór jest niepusty.
Jeżeli `D=0`, to `(0,0,0)` należy do obu zbiorów. Jeżeli zaś `D\ne 0` to dobieramy epsilony tak, żeby znaki ` A\varepsilon_1`, `B\varepsilon_2` i `C\varepsilon_3` były różne niż znak `D` wtedy równanie `A\varepsilon_1 t+ B\varepsilon_2 t^2+ C\varepsilon_3 t^3+D=0` ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie na mocy własności Darboux
Dodano po 25 minutach 40 sekundach:
No dobra: prościej tak:
Niech \(\displaystyle{ T=\{(t,t^3,t^5): t\in\RR\}}\).
Zbiór \(\displaystyle{ \Pi\cap T=\{t: At+Bt^3+Ct^5+D=0\} }\) jest skończony i niepusty jako zbiór pierwiastków rzeczywistych wielomianu nieparzystego stopnia.
\(\displaystyle{ T=\{(\varepsilon_1 t, \varepsilon_2 t^2, \varepsilon_3 t^3): t\in\RR, \varepsilon_i\in\{-1,1\}\}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ \Pi}\) jest płaszczyzną dana równaniem \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\), to \(\displaystyle{ \Pi \cap T}\) jest zbiorem rozwiązań rzeczywistych ośmiu równań wielomianowych \(\displaystyle{ A\varepsilon_1 t+ B\varepsilon_2 t^2+ C\varepsilon_3 t^3+D=0}\), a zatem jest skończony.
Trzeba jeszcze pokazać że ten zbiór jest niepusty.
Jeżeli `D=0`, to `(0,0,0)` należy do obu zbiorów. Jeżeli zaś `D\ne 0` to dobieramy epsilony tak, żeby znaki ` A\varepsilon_1`, `B\varepsilon_2` i `C\varepsilon_3` były różne niż znak `D` wtedy równanie `A\varepsilon_1 t+ B\varepsilon_2 t^2+ C\varepsilon_3 t^3+D=0` ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie na mocy własności Darboux
Dodano po 25 minutach 40 sekundach:
No dobra: prościej tak:
Niech \(\displaystyle{ T=\{(t,t^3,t^5): t\in\RR\}}\).
Zbiór \(\displaystyle{ \Pi\cap T=\{t: At+Bt^3+Ct^5+D=0\} }\) jest skończony i niepusty jako zbiór pierwiastków rzeczywistych wielomianu nieparzystego stopnia.