Ostrosłup, płaszczyzna, przekrój, objętość

Kasiaczek · Post autor: **Kasiaczek** » 29 mar 2009, o 17:33

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt o bokach długości 18cm i 12 cm, którego kąt między tymi bokami ma miarę 60 stopni. Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa mają dł. 12cm. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i dzieląc jego wysokość w stosunku 1:2, licząc od wierzchołka. Oblicz:
a) obwód otrzymanego przekroju;
b) objętość ostrosłupa ABCS
c) pole pow. całkowitej i objętość tej z brył wyznaczonych przez przekrój, która nie jest podobna do ostrosłupa ABCS.
Rysunek mam, przekrój też, ale nie wiem, jaką ma dł. trzeci bok podstawy i nie wiem, jak to obliczyc;(

piotrekgabriel · Post autor: **piotrekgabriel** » 29 mar 2009, o 19:50

Najprościej trzeci bok wyznaczyć z twierdzenia cosinusów (\(\displaystyle{ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos(b,c)}\))

Jeśli masz tego twierdzenia nie używać, da się obliczyć trzeci bok używając samego pitagorasa, tylko, że kilka razy

Kasiaczek · Post autor: **Kasiaczek** » 29 mar 2009, o 19:56

właśnie o to chodzi, że ja nie miałam tw. sinusów:(

piotrekgabriel · Post autor: **piotrekgabriel** » 29 mar 2009, o 20:10

No to robimy inaczej:

Niech |AB|=18, |BC|=12, kąt przy B ma miarę 60 stopni.
Rysujesz wysokość |CD|. Z trygonometrii wiesz, że \(\displaystyle{ |CD|=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 12 = 6\sqrt{3}}\), a \(\displaystyle{ |BD|=\frac{1}{2}\cdot 12=6}\).

\(\displaystyle{ |AD|=18-6=12}\). Możesz zastosować pitagorasa dla trójkąta ADC. Wychodzi \(\displaystyle{ |AC|=6\sqrt{7}}\)

Kasiaczek · Post autor: **Kasiaczek** » 29 mar 2009, o 20:25

Dziąki:) A pomożesz dalej?
bo teraz mam problem z podpunktem a

piotrekgabriel · Post autor: **piotrekgabriel** » 29 mar 2009, o 20:36

Ten mniejszy, odcięty ostrosłup będzie podobny do dużego. Skoro wysokość małego do dużego to 1/3, obwód małego do obwodu dużego ma się tak samo. Stąd szukany w a) obwód ma \(\displaystyle{ 10+2\sqrt{7}}\)

Kasiaczek · Post autor: **Kasiaczek** » 29 mar 2009, o 20:44

Ok, mam, a jak obliczyć wysokość ostrosłupa? Bo chciałam z Talesa, ale nie wychodzi:(-- 29 mar 2009, o 20:48 --Skorzystałam z Tw. Pitagorasa i wyszło mi, że wysokość jest 6. Dobrze?

piotrekgabriel · Post autor: **piotrekgabriel** » 29 mar 2009, o 21:07

Opisz mi to jakoś, bo, mówiąc szczerze, nie widzę jak to zrobić

Kasiaczek · Post autor: **Kasiaczek** » 29 mar 2009, o 21:16

Hmmm, zrobiłam to tak: początek wysokosci znajduje sie w przecieciu dwusiecznych katów podstawy, ktora jest trojkatem;p, wiem, ze jeden kat ma miare 60stopni, a dwusieczna dzieli go na 30stopni, wiec korzystajac z prawa, ze prosta polozona na przeciwko kata 30 stopni jest rowna polowie przeciwprostokatnej wyliczylam, ze H jest polowa 12 wiec jest 6;p

piotrekgabriel · Post autor: **piotrekgabriel** » 29 mar 2009, o 21:25

Nie możesz tak zrobić, bo nie masz nigdzie kąta prostego (no, chyba, że go widzisz... ale raczej nie powinno go być)

Chyba "najprostszym" sposobem jest wyliczenie promienia tego okręgu ze wzoru \(\displaystyle{ r=\frac{2P}{a+b+c}}\), a potem dopiero odległość, o której mówiłaś, z trygonometrii. Jeśli dobrze zrobiłem, to wychodzi \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}(5-\sqrt{7})}\)

EDIT kolejny: bez sensu, błąd logiczny/rzeczowy

Kasiaczek · Post autor: **Kasiaczek** » 29 mar 2009, o 21:33

Nie łapię:(

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 29 mar 2009, o 21:34

W tego typu ostrosłupach, gdzie wszystkie krawędzie boczne mają taką samą długość, wysokość ostrosłupa możemy policzyć w sposób wyjaśniony tutaj: 111281.htm

piotrekgabriel · Post autor: **piotrekgabriel** » 29 mar 2009, o 21:40

Idąc tokiem myślenia podsuniętym przez Sherlocka, spodek wysokości jest w środku okręgu OPISANEGO na podstawie (wcześniej tu zrobiłem błąd rzeczowy właśnie).
Ze wzoru \(\displaystyle{ R=\frac{abc}{4P}=2\sqrt{21}}\). Teraz pitagoras: \(\displaystyle{ H^{2}+(2\sqrt{21})^{2}=12^{2}}\)

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 29 mar 2009, o 21:58

Tak by to wyglądało
Mam jedną uwagę, tam w treści jest podział wysokości na pół, tymczasem w obliczeniach mamy 1/3

Kasiaczek · Post autor: **Kasiaczek** » 29 mar 2009, o 22:04

Nie, no z tą wysokością jest ok, ale musze najpierw policzyć ten promień;0
Sherlock Ty tutaj?:D
Panowie dajcie chwilkę na policzenie zmęczonej kobieciexD-- 29 mar 2009, o 22:08 --No mam wysokość: H=2 \(\displaystyle{ \sqrt{15}}\)