Matematyka.pl

Czy kostkę sześcienną o boku \(\displaystyle{ k}\) można ułożyć z białych i czarnych sześciennych kostek jednostkowych, w taki sposób, by każda kostka biała przylegała do dokładnie dwóch czarnych zaś każda kostka czarna przylegała do dokładnie dwóch białych ?
Uwagi: Dwie kostki przylegają do siebie jeśli mają wspólną ścianę.

W kostce o boku \(\displaystyle{ k}\), \(\displaystyle{ N }\) białych kostek ma \(\displaystyle{ 2N}\) czarnych sąsiadów, a \(\displaystyle{ k^3-N }\) czarnych kostek ma \(\displaystyle{ 2k^3-2N}\) białych sąsiadów. Ponieważ każde sąsiedztwo było zliczane dwukrotnie, to w kostce jest \(\displaystyle{ \frac{2N+(2k^3-2N)}{2}=k^3}\) różnokolorowych sąsiedztw. Z drugiej strony, liczba różnokolorowych sąsiedztw jest liczba parzystą ( bo ''każda kostka biała przylegała do dokładnie dwóch czarnych''), więc \(\displaystyle{ k}\) nie może być liczą nieparzystą.
Pozostaje pytanie: ''czy istnieją kostki o parzystym \(\displaystyle{ k}\) spełniające tezę? ''
Tak, a przykładem takich kostek są te o ułożonych na sobie jednakowych warstwach:

BC
CB

BCCB
CBBC
CBBC
BCCB

BCCBBC
CBBCCB
CBBCCB
BCCBBC
BCCBBC
CBBCCB

BCCBBCCB
CBBCCBBC
CBBCCBBC
BCCBBCCB
BCCBBCCB
CBBCCBBC
CBBCCBBC
BCCBBCCB

.....