Matematyka.pl

Witam,
Mam takie zadanie i nie mogę sobie poradzić z jego częścią.

\(\displaystyle{ S\sim Bin(n,\theta)}\). Zajmujemy się estymacją wielkości \(\displaystyle{ g(\theta)=\theta^2}\).
Najpierw część b), którą zrobiłem, jak mi się wydaje, poprawnie.
b) Znaleźć estymator nieobciążony \(\displaystyle{ \widehat{g}(\theta)}\).

Rozpatrzmy \(\displaystyle{ \widetilde{g}(S)=\frac{S^2}{n^2}}\) i spróbujmy poprawić ten estymator tak, by jego wartość oczekiwana wynosiła \(\displaystyle{ \theta^2}\).
Liczymy \(\displaystyle{ \mathbb{E}\widetilde{g}(S)=\theta^2+\frac{\theta-\theta^2}{n}}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(\widetilde{g}(S)-\frac{S}{n^2})=\theta^2\frac{n-1}{n}}\)
Stąd \(\displaystyle{ \frac{n}{n-1}(\widetilde{g}(S)-\frac{S}{n^2})}\) jest nieobciążonym estymatorem \(\displaystyle{ \theta^2}\).

a)Zbadać zgodność i asymptotyczną normalność estymatora \(\displaystyle{ \widetilde{g}(S)=\frac{S^2}{n^2}}\).
Tu nawet nie wiem jak się zabrać, próbowałem coś z Centralnego Twierdzenia Granicznego, ale mi nie wychodzi za bardzo. Proszę o wskazówkę lub rozwiązanie.

Pozdrawiam i proszę o pomoc.

Co do zgodności:
Estymator nazywamy zgodnym, jeśli zbiega do wartości właściwej po prawdopodobieństwie.
Czyli: \(\displaystyle{ \widehat{g}(X) -> (prawd) g(X)}\)
Albo inaczej: \(\displaystyle{ P(| \widehat{g}(X) - g(X)| < \epsilon ) > 1 - n}\) - gdzie tu \(\displaystyle{ \epsilon}\) jest dowolną liczbą dodatnią, a \(\displaystyle{ n}\) jest malutką liczbą dodatnią.
Mówiąc po ludzku - estymator zgodny, to taki, którego wartość jest zbliżona do wartości poprawnej.

Co do asymptotycznej normalności:
Zjawisko to zachodzi tylko dla dużych prób, więc możesz w obliczeniach spokojnie przyjmować \(\displaystyle{ n>100}\).
Zerknij tutaj, na definicję 3: ... teoria.pdf
Ja bym sprawdziła po prostu, czy statystyka \(\displaystyle{ \widehat{g}(X)}\) jest rozkładu normalnego tam podanego, czy nie.