Matematyka.pl

Mam policzyć dystrybuante zmiennej losowej ciągłej dla następującej funkcji
\(\displaystyle{
p\left( x\right) = \begin{cases} 0 &\text{gdy }x\notin \left\langle 1,3\right\rangle \\ 4ax &\text{gdy } x \in \left\langle 1,3\right\rangle \end{cases}
}\)
Mam pytanie
jaki powinien być pierwszy przedział dla tej funkcji i dlaczego. Ja napisałem to tak
\(\displaystyle{
\left( - \infty, x \right\rangle \\ \left(1, 3 \right\rangle, \\ \left( 3, + \infty \right)
}\)
Czy dobrze?

Najpierw musimy wyznaczyć wartość parametru \(\displaystyle{ a }\) na podstawie własności funkcji gęstości.

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} p(x)dx = \int_{-\infty}^{1} 0 dx + \int_{1}^{3} 4 a x dx + \int_{3}^{\infty} 0 dx = 1.}\)

Po wstawieniu \(\displaystyle{ a,}\) do wzoru na \(\displaystyle{ p(x) }\) wyznaczamy dystrybuantę \(\displaystyle{ F(x) }\) z definicji dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej.

Dla \(\displaystyle{ x< 1, \ \ F(x) = \int_{-\infty}^{x} p(t) dt = \int_{-\infty}^{1} 0 dt = \ \ ...}\)

Dla \(\displaystyle{ 1\leq x \leq 3, \ \ F(x) = \int_{-\infty}^{x} p(t) dt = \int_{-\infty}^{1} 0 dt + \int_{1}^{x} p(t) dt = \ \ ... }\)

Dla \(\displaystyle{ x > 3, \ \ F(x) = \int_{-\infty}^{x} p(t) dt = \int_{-\infty}^{1} 0 dt + \int_{1}^{3} p(t) dt + \int_{3}^{x} 0 dt = \ \ ... }\)