Matematyka.pl

Zauważ, że środki tych okręgów, \(\displaystyle{ O_{1},\ O_{2}, \ O_{3}}\), są wierzchołkami trójkąta o bokach długości:
\(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|=r_{1}+r_{2} \\ |O_{1}O_{3}|=r_{1}+r_{3} \\ |O_{2}O_{3}|=r_{2}+r_{3}}\)

A konstrukcja trójkąta o zadanych bokach nie powinna już stanowić problemu.

Ta bryła jest od góry ograniczona płaszczyzną \(\displaystyle{ 2x+z-8=0}\) a od dołu płaszczyzną \(\displaystyle{ z=0}\), więc stąd mamy już granice dla z. Pozostają granice dla x i y (czyli dla rzutu bryły na z=0). Rzut ten jest ograniczony dwoma prostymi \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ 2x+0-8=0}\) (czyli \(\displaystyle{ x=4}\)), a także parabolą \(\displaystyle{ 2y^2-x=0}\).

Po pierwsze to popraw zapis na regulaminowy (inaczej Twój temat może wylądować w koszu). Wiemy, że: f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{(X,Y)}(x,y)dx Oczywiście dla y\le -1 \wedge y\ge 1 , f_{(X,Y)}(x,y)=0 , więc f_{Y}(y)=0 . Pozostaje Ci przypadek y\in (-1,1) . Jakie wtedy będą granice całkowania (t...

Teraz jest ok.

Drobny błąd zrobiłeś:
\(\displaystyle{ |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}}\)

Płat mamy dany wzorem jawnym, więc nie trzeba parametryzować, gdyż:
Jeżeli \(\displaystyle{ z=z(x,y)}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in D}\), to
\(\displaystyle{ |S|=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy}\)

Na pewno taka jest treść? W pierwszym oktancie ta powierzchnia jest nieograniczona (chociaż możliwe, że gęstość spowoduje, że pole to jest skończone). Jeżeli płat jest dany wzorem jawnym, tzn. z=z(x,y) dla (x,y)\in D oraz mamy dana gęstość \rho (x,y,z) , to: |S|=\iint_{D}\rho(x,y,z(x,y))\sqrt{1+\lef...

Tak.

Podstawienie \(\displaystyle{ s=\cos (t^2)}\). Zapomniałeś o granicach całkowania.

Ok, przepraszam, ale nie zauważyłem, że liczysz pole powierzchni a nie objętość.
To jest prawie ok, sprawdź zakres dla kąta (z rysunku wynika, że nie po całym okręgu jest ta całka).

Współrzędne walcowe wyglądają inaczej:
\(\displaystyle{ x=rcos\varphi \\ y=rsin\varphi \\ z=z}\)

Jeszcze bardziej da się to zwinąć:
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z}}\)