Matematyka.pl

Ad. 1 \frac{\cos{x}}{\sqrt[3]{(1-\sin{x})^2}}= \sqrt[3]{\frac{\cos^3x}{(1-\sin x)^2}}=\sqrt[3]{\frac{\cos^3x(1+\sin x)^2}{(1-\sin x)^2(1+\sin x)^2}}= \\ = \sqrt[3]{\frac{\cos^3x(1+\sin x)^2}{\cos^4x}}}=\sqrt[3]{\frac{(1+\sin x)^2}{\cos x}}} Widać stąd, że granica nie istnieje, bo lewo- i prawostronn...

takanator pisze:\(\displaystyle{ cn4^{n+2}-6cn^{n+1}+8cn4^n=-2\cdot 4^n}\)

Nie tak, tylko:
\(\displaystyle{ c(n+2)4^{n+2} - 6c(n+1)4^{n+1}+8cn4^n= -2\cdot 4^n}\)

Q.

217363.htm

Q.

W części niejednorodnej jest \(\displaystyle{ 4^n}\), a czwórka jest pierwiastkiem jednokrotnym równania charakterystycznego. Tak więc rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci \(\displaystyle{ c\cdot n4^n}\)

Q.

320728.htm

Q.

Można zacząć od podstawienia \(\displaystyle{ t=-\arcsin x}\), wtedy \(\displaystyle{ x= -\sin t}\) oraz \(\displaystyle{ dx= -\cos t dt}\).

Q.

Nie mam lepszego pomysłu niż oznaczyć sobie wyznacznik takiej macierzy n\times n przez W_n , a następnie ułożyć rekurencję. Jeśli od ostatniej kolumny odejmiemy pierwszą i potem użyjemy rozwinięcia Laplace'a względem ostatniej kolumny, to po drobnej gimnastyce dostaniemy: W_n = a_n \cdot W_{n-1}+b \...

\frac{\arcsin(2x)-2\arcsin(x)}{ x^{3} } \neq \frac{2x-2x \sqrt{1-x^2} }{ \sin(x^{3}) } Twoja próba przekształcenia wynika zapewne z niezrozumienia co znaczy napis \sin . Jest to po prostu nazwa funkcji, a przez nazwę nie można mnożyć. Ani nie jest prawdą, że \frac ab = \frac{\sin a}{\sin b} , ani t...

nesti32 pisze:Przemnażając każdy wyraz przez sin(...), niby upraszczam sobie funkcje cyklometryczne

Co dokładnie masz na myśli?

Q.

Premislav pisze:Popatrzmy:
\(\displaystyle{ \sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}= \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}= \ldots}\)

Twoje rachunki można trochę skrócić zauważając, że
\(\displaystyle{ \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}=\sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}i^{2}}\)

Q.

Ja bym zaproponował zacząć od zauważenia, że nasza suma to nic innego niż \frac 12 \sum_{1\le i,j\le n} (j-i)^2 (bo dla i=j sumowane wyrażenie się zeruje, a dla j<i taka suma jest równa tej której szukamy). A w takim razie: \frac 12 \sum_{1\le i,j\le n} (j-i)^2=\frac 12 \sum_{1\le i,j\le n} (j^2+i^2...

Funkcja Dirichleta.

Q.

Nie wiem czy taką indukcję miałeś na myśli, ale zachodzi \(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{2^k}-1\right) = \frac{1}{2^{k-1}}-1}\), więc przy takim punkcie startowym dojdziemy do \(\displaystyle{ 0}\), a potem po paru krokach ciąg zrobi się stały, więc i zbieżny.

Q.

Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ n\le x_n\le n+1}\), skąd od razu wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{x_n}{n}=1}\). W takim razie szukaną granicę łatwo policzyć przekształcając nasz wzór rekurencyjny do postaci:
\(\displaystyle{ x_n-n = \frac{\frac{x_{n-1}}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n}}{\frac{x_n}{n}+1}}\)

Q.

Jak się zdaje dla \(\displaystyle{ a}\) postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{2^k}-1}\) ciąg zbiega do \(\displaystyle{ -1}\).

Q.