Matematyka.pl

Jak obliczyć sumę \(\displaystyle{ \sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}}\)?

Oczekiwany wynik to

Heil Michnik.
\(\displaystyle{ \sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}= \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}}\) - to powinno pomóc. Dalej kwadracimy i odpowiednio rozbijamy - choć może jest coś ładniejszego?
Aha, nie od rzeczy będzie przypomnieć znany fakt, iż \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\) - można to policzyć metodą zaburzeń.

Premislav pisze:Heil Michnik.
\(\displaystyle{ \sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}= \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}}\) - to powinno pomóc. Dalej kwadracimy i odpowiednio rozbijamy - choć może jest coś ładniejszego?
Aha, nie od rzeczy będzie przypomnieć znany fakt, iż \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\) - można to policzyć metodą zaburzeń.

Hm. Jak wyglądałby początek z użyciem metody zaburzeń do obliczenia tej sumy?
Co do Michnika, to kojarzę tylko jednego, tego z gazety.

258562.htm

Ja bym zaproponował zacząć od zauważenia, że nasza suma to nic innego niż \(\displaystyle{ \frac 12 \sum_{1\le i,j\le n} (j-i)^2}\) (bo dla \(\displaystyle{ i=j}\) sumowane wyrażenie się zeruje, a dla \(\displaystyle{ j<i}\) taka suma jest równa tej której szukamy). A w takim razie:
\(\displaystyle{ \frac 12 \sum_{1\le i,j\le n} (j-i)^2=\frac 12 \sum_{1\le i,j\le n} (j^2+i^2-2ij) = \\ = \frac 12 \left( \sum_{1\le i,j\le n}j^2 + \sum_{1\le i,j\le n}i^2 -2 \sum_{1\le i\le n}i \cdot \sum_{1\le j\le n}j\right) = \\ =\frac 12 \left( n\sum_{1\le j\le n}j^2 + n\sum_{1\le i\le n}i^2 -2 \sum_{1\le i\le n}i \cdot \sum_{1\le j\le n}j\right) = \\ =
n\sum_{1\le i\le n}i^2 - \left( \sum_{1\le i\le n}i\right)^2}\)
i dalej łatwo.

Q.

Chapeau bas!
A to, co ja zaproponowałem, to jest jakiś badziew, wydawało mi się, że ładnie się skróci, a wcale nie jest ani krótko, ani przyjemnie, ani zgrabnie. Wybacz, że się odzywałem w tym temacie. Popatrzmy:
\(\displaystyle{ \sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}= \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}=\sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j^{2}-2ij+i^{2})=\\= \sum_{j=2}^{n}j^{3}- 2\sum_{j=2}^{n}j^{2}+ \sum_{j=2}^{n}j+ \sum_{j=2}^{n} \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}=\\=\sum_{j=1}^{n}j^{3}- 2\sum_{j=1}^{n}j^{2}+ \sum_{j=1}^{n}j+ \sum_{j=2}^{n} \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}}\)
Teraz tak: można policzyć również metodą zaburzeń \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}j^{3}}\):
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}j^{4}=1+ \sum_{j=2}^{n}j^{4}=1+ \sum_{j=1}^{n-1}(j+1)^{4}=1+ \sum_{j=1}^{n-1}(j^{4}+4j^{3}+6j^{2}+4j+1)}\). Po skróceniu i przerzuceniu tego, co trzeba na drugą stronę dostajemy:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n-1}j^{3}= \frac{n^{4}-1-(n-1)(2n-1)n-2n(n-1)-(n-1)}{4}= \frac{n^{2}(n^{2}-2n+1)}{4}}\), a zatem \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}j^{3}=\frac{n^2(n^2+2n+1)}{4}}\)
No i trzeba jeszcze wymnożyć ten syf: \(\displaystyle{ \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}= \frac{j^{3}}{3}- \frac{j^{2}}{2}- \frac{j}{6}}\), rozbić na odpowiednie sumy i uprościć - w porównaniu z propozycją Qnia jakaś kompletna obliczeniowa masakra.
Jak to krzyczał Peja "tak kończą frajerzy". Ukarałem się tymi obliczeniami, bo za dużo ostatnio rzucam kiepskich wskazówek, które prowadzą donikąd.

Premislav pisze:Popatrzmy:
\(\displaystyle{ \sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}= \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}= \ldots}\)

Twoje rachunki można trochę skrócić zauważając, że
\(\displaystyle{ \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}=\sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}i^{2}}\)

Q.

Premislav pisze:Chapeau bas!
A to, co ja zaproponowałem, to jest jakiś badziew, wydawało mi się, że ładnie się skróci, a wcale nie jest ani krótko, ani przyjemnie, ani zgrabnie. Wybacz, że się odzywałem w tym temacie. Popatrzmy:
\(\displaystyle{ \sum_{1 \le i<j \le n}^{} \left( j - i \right) ^{2}= \sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j-i)^{2}=\sum_{j=2}^{n} \sum_{i=1}^{j-1}(j^{2}-2ij+i^{2})=\\= \sum_{j=2}^{n}j^{3}- 2\sum_{j=2}^{n}j^{2}+ \sum_{j=2}^{n}j+ \sum_{j=2}^{n} \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}=\\=\sum_{j=1}^{n}j^{3}- 2\sum_{j=1}^{n}j^{2}+ \sum_{j=1}^{n}j+ \sum_{j=2}^{n} \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}}\)
Teraz tak: można policzyć również metodą zaburzeń \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}j^{3}}\):
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}j^{4}=1+ \sum_{j=2}^{n}j^{4}=1+ \sum_{j=1}^{n-1}(j+1)^{4}=1+ \sum_{j=1}^{n-1}(j^{4}+4j^{3}+6j^{2}+4j+1)}\). Po skróceniu i przerzuceniu tego, co trzeba na drugą stronę dostajemy:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n-1}j^{3}= \frac{n^{4}-1-(n-1)(2n-1)n-2n(n-1)-(n-1)}{4}= \frac{n^{2}(n^{2}-2n+1)}{4}}\), a zatem \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}j^{3}=\frac{n^2(n^2+2n+1)}{4}}\)
No i trzeba jeszcze wymnożyć ten syf: \(\displaystyle{ \frac{(j-1)j(2j-1)}{6}= \frac{j^{3}}{3}- \frac{j^{2}}{2}- \frac{j}{6}}\), rozbić na odpowiednie sumy i uprościć - w porównaniu z propozycją Qnia jakaś kompletna obliczeniowa masakra.
Jak to krzyczał Peja "tak kończą frajerzy". Ukarałem się tymi obliczeniami, bo za dużo ostatnio rzucam kiepskich wskazówek, które prowadzą donikąd.

Jedna z Twoich wskazówek faktycznie prowadziła donikąd, ale ta z metodą zaburzeń nie. Dało się obliczyć.