Matematyka.pl

Obawiam się, że to nie jest kontrprzykład, w tym przypadku $$n=2, \ a_1=0, \ a_2=-1$$ i nierówność zachodzi.
Ogólnie to jakaś mało kreatywna zwijanka. Z Viete'a wyznaczamy $$a_1, a_2$$ w zależności od pierwiastków i to się chyba nawet zwija do kwadratów.

PS Admin to klaun firmy Braun, trzy-cztery ...

Stare, dla $$n=1$$ prawda, a dla $$n\ge 2$$ mamy
\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac {1}{k!}=1+\sum_{k=2}^{n} \frac {1}{k!}\le 1+\sum_{k=2}^{n} \frac {1}{k(k-1)}=2-\frac 1 n}
ostatnie przejście - bo suma teleskopowa $$ \frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}$$. Aha, latex też już zepsuliście nas tym forum (piszę ...

Pierwszy z wymienionych wątków to moje skrzywienie, więc z uwagi na ewidentny brak obiektywności się nie wypowiem (na pewno lubiłem wracać do starych wypowiedzi xiikzodz czy Slupa stamtąd; w ogóle lubię czytać mądrzejszych ludzi), ale usunięcie drugiego i trzeciego wskazuje na niechęć do ...

f(x)=\tan x jest wypukła w pierwszej ćwiartce, bo f'(x)=\frac 1{\cos^2x} jest rosnąca tamże. Na mocy nierówności Jensena mamy więc...

Maksimum iloczynu jest minimalnie ciekawsze, bo po zlogarytmowaniu nie można od razu na pałę z Jensena. Jednak co najwyżej jeden z kątów \alpha, \ \beta, \ \gamma ...

Proszę wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^{+\infty}, \ a_n=\displaystyle{\frac{\sum_{k=1}^n k^n}{n^n}}}\) jest rosnący.

W dodatnich x_1, x_2\ldots x_n \ (n \in \NN^{+}, \ n\ge 3) jest
\displaystyle{\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{S+x_{i+1}-x_i}\ge 1} ,
przy czym S=x_1+x_2+\ldots+x_n ,
a indeksy idą modulo n , tj. x_{n+1}=x_1 itd.
Dowód: nierówność jest jednorodna, więc bez straty ogólności niech S=1 .
Z Jensena dla ...

W takim razie przepraszam, mnie chodziło o starego admina, który obiecał odniesienie się do moich uwag w wolnej chwili i przez ponad pół roku tego nie uczynił, co uważam za mocno lekceważące.

admin, czulu jeden, oddawaj moje punkty „pomuk", bo powiem mamie (a z nią nie chcesz zadzierać, zapewniam; jej lewa ręka zadaje śmierć, a prawej sama się boi). Słowem wyjaśnienia: „czul" to mój neologizm, trochę jak „ciul" oraz „żul", ale jest to w założeniu tak żałosna osoba, że aż jej ułomność ...

Hello Całki dla Piwoszy, Michael here!

\displaystyle{ \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}
dla |x|<1 - znany fakt, można go wyprowadzić z rozwinięcia \ln(1+t) w szereg Taylora.
Mamy zatem
\displaystyle{\frac{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{x\sqrt{1-x^2 ...

Ad. 14 Przecież od razu widać, że jeśli założenia ciągłości nie ma, to każde rozwiązanie równania funkcyjnego Cauchy'ego obcięte do rzeczywistych dodatnich działa; trudniej wykazać, że nie ma żadnych innych (i nawet nie wiem, czemu to prawda, dlategom nie pisał). Bardzo nieładnie dodawać w uwagach ...

Bez straty ogólności niech a\ge b\ge c . Rozważ dwa przypadki:
1) Powiedzmy, że a^2+b^2+c^2\le 1 . Wówczas teza jest oczywista, gdyż
a^4+b^4+c^4+1+2abc-\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2\right)= \frac 1 2\left(a^2-b^2\right)^2+\frac 1 2\left(b^2-c^2\right)^2+\frac 1 2\left(c^2-a^2\right)^2+ 1 ...

Odejmujemy stronami trzecie równanie od pierwszego i mamy
(x-z)(y+1)=0 , więc x=z\vee y=-1 .
Jesli x=z , to y=xz+5=x^2+5 i wstawiamy to np. do pierwszego równania, co daje
-x^3-4x=1 .
Funkcja f(x)=-x^3-4x jest ciągła, malejąca i ma granicę +\infty w -\infty oraz -\infty w +\infty , wiec ...

Wyjdźmy od wzoru na sumę tangensów (założenia raczej oczywiste):
\tg x+\tg y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}
i z nieparzystości tangensa.
Mamy
\tg \left(\frac{2\pi}{5}\right)+\tg\left(-\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)}{\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\cos\left(-\frac{\pi ...

Ustalmy dowolne x_0\in \mathbb{R} .
Z drugiej nierówności mamy f(x_0)=f\left(\frac {x_0} 2+\frac {x_0} 2\right)\ge f^2\left(\frac {x_0} 2\right) (w szczególności nietrudno stąd wywnioskować \forall_{x\in \mathbb{R}}f(x)\ge 0 ) i indukcyjnie f(x_0)\ge f\left(\frac {x_0} {2^n}\right)^{2^n}, \ n\in ...

\(\displaystyle{ \displaystyle{\int_{0}^1\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y}xyz \ \mbox{d}z \ \mbox{d}y \ \mbox{d}x}=?}\)
To już całkujesz po każdej kolejnej zmiennej z osobna, to są całki z funkcji wielomianowych, więc nic trudnego, no i korzystasz z tw. Newtona-Leibniza.