Matematyka.pl

Czy teza nie byłaby prawdziwa, gdyby osłabić założenie do postaci: dla dowolnej odwracalnej macierzy B?

EDIT: To jest równoważne temu, że jedyną macierzą podobną do A jest A. Potrafię pokazać, że wtedy A ma wszystkie wyrazy na przekątnej równe, ale nie umiem pokazać, że reszta jest zerem.

Dana jest macierz \(\displaystyle{ A \in M_{n \times n}(K)}\). Jak pokazać, że jeżeli dla każdej macierzy \(\displaystyle{ C \in M_{n \times n}(K)}\) zachodzi \(\displaystyle{ AC=CA}\) to \(\displaystyle{ A=aI}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a \in K}\)?

Moglby ktos napisac czy teza jest prawdziwa?

Dana jest macierz \(\displaystyle{ M_{n \times n}(R)}\) rzędu 1, z niezerową wartością własną. Pokazać, że A jest diagonalizowalna.

Tak

Niewazne, którą styczną wezmiesz. Niech jakas styczna bedzie styczna do okręgów w punktach X i Y i niech prosta potęgowa przecina ją w punkcie P. Z definicji prostej potegowej:\(\displaystyle{ PX^2 = PY^2 \Rightarrow PX=PY}\), czyli P jest srodkiem stycznej.

Chcialem zapytac o zadanie 160 ze zbioru Pompego. Czy moje rozumowanie jest poprawne?

Niech o_A oznacza ten mały okrąg wpisany w przy wierzchołku A, niech o_1 - okrąg wpisany w DEF, o_2 wpisany w ABC oraz niech P bedzie srodkiem jednokładności ujemnej przekształcającej o_1 na o_2

Wtedy J_{D ...

Załóżmy \(\displaystyle{ x \ge y\ge z .}\)

\(\displaystyle{ x-y \ge |z|\ge z}\)
\(\displaystyle{ y-z \ge |x|\ge x}\)
\(\displaystyle{ x-z \ge |y| \ge y}\)
Stąd \(\displaystyle{ x-z \ge y \ge x+z}\) , czyli \(\displaystyle{ 0 \ge z}\)

Wobec tego \(\displaystyle{ |z|=-z.}\)

\(\displaystyle{ x-y \ge -z}\)
\(\displaystyle{ y-z \ge x}\)

\(\displaystyle{ y-z \ge x \ge y-z}\) co konczy dowod.

\(\displaystyle{ 1 ^{ \frac{1}{4} }}\) nie musi być równe 1. Równanie \(\displaystyle{ x^4 = 1}\) ma cztery pierwiastki.

Dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) działa?

Udowodnić nierównośc dla x,y rzeczywistych:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}}\) \(\displaystyle{ x^{n-i} \cdot y^i}\) \(\displaystyle{ \ge 0}\)

Tam miało byc oczywiscie \(\displaystyle{ 3(3k ^{2} +2k+1) \neq 3}\) Przepraszam za blad

Addin pisze:\(\displaystyle{ p ^{2} +2=(3k+1) ^{2} +2=9k ^{2} +6k+1+2=3(3k ^{2} +2k+1)}\) - jest podzielne przez 3 więc nie jest l. pierwszą

Chodzi mi o ten fragment. Trzeba pokazac, ze \(\displaystyle{ 3(3k ^{2} +2k+1) \neq 0}\) To jest oczywiste, ale na konkursie wypadaloby napisac.

Jezeli chodzi o twoje rozwiazanie zadania 1, to to ze liczba jest podzielna przez 3 nie znaczy ze jest zlozona. Trzeba jeszcze pokazac, ze nie jest to trojka.

Rozwiazanie zadania trzeciego:
Rozpisuje zalozenie na uklad trzech rownan i kazde rownanie mnoze przez wspolny mianownik:
\begin{cases} z-y ...

Zadania klas I:

Zadanie 1.
Znalezc wszystkie liczby pierwsze p takie, ze liczby p ^{2} + 2 i p ^{3}+2 sa jednoczesnie liczbami pierwszymi.

Zadanie 2.
Udowodnić, że jezeli liczbcy rzeczywiste a,b spelniaja warunekk \frac{1}{a ^{2} } + \frac{1}{b ^{2} }=1 , to a^{4}+ b^{4} \ge (a+b) ^{2 ...

Bardzo proszę o dowód następującego twierdzenia:
Pola trójkątów ABC i ABD (punkty C i D położone sa po tej samej stronie prostej AB) są jednakowe wtedy i tylko wtedy, gdy odcinki AB i CD są równolegle