Matematyka.pl

Czy istnieje ściśle rosnący ciąg liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a_n}\) taki, że \(\displaystyle{ a_n\leq n^3}\) oraz każda liczba całkowita dodatnia występuje dokładnie raz jako różnica dwóch elementów tego ciągu?

Dane są punkty X_1, X_2, ..., X_n . Pewien okrąg o promieniu R otacza niektóre
z nich (być może wszystkie, ale nie 0 ). Konstruujemy kolejny okrąg o promieniu R
i środku w środku masy układu punktów otoczonych przez poprzedni okrąg. Czynność
powtarzamy, to znaczy konstruujemy k -ty okrąg o ...

To jest druga najpiękniejsza rzecz, jaką widziałem w życiu... Dziękuję.

Można to zauważyć po rozpisaniu tego wielomianu. Wtedy patrzymy oddzielnie na sumy dla każdej potęgi od 0 do n. Punkty możemy też przesunąć w taki sposób, że f(0)=1 (bo to po prostu ich iloczyn). Widać również, że suma przy wykładniku n da n, a ta z wykładnikami mniejszymi (oprócz 0) się wyzeruje i ...

O którą część dowodu konkretnie Pani chodzi?

Pozdrawiam <3

4 harde
Rozważmy wielomian f(z)=(z-z_1)...(z-z_n) , gdzie z_1,...,z_n są naszymi punktami na okręgu jednostkowym (robię na zespolonych). Nasz warunek jest równoważny |f(z)|\leq 2 dla |z|=1 . Łatwo zauważyć, że |\sum_{w^n=1}f(w)|=2n , ale jednocześnie ta suma po lewej stronie jest mniejsza bądź ...