Znaleziono 3045 wyników

autor: bakala12
19 sty 2019, o 19:03
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: XIV OMJ
Odpowiedzi: 57
Odsłony: 10548

Re: XIV OMJ

Jestem mocno za stary na te zadania, ale znalazłem chwilkę na przekminę. Nie widziałem żeby pojawiło się moje rozwiązania zadania drugiego, więc je wrzucam Niech E będzie punktem symetrycznym do D względem prostej AP . Łatwo zauważamy, że trójkąty \Delta AEP i \Delta ADP są przystające. Podobnie lic...
autor: bakala12
9 cze 2018, o 08:48
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Udowodnij nierówność.
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 362

Re: Udowodnij nierówność.

Ale jest prawdziwa dla wszystkich liczb, dla których jest określona. Wyznaczenie dziedziny pozostawiam Tobie.
Dowodzić można naprościej korzystając z monotoniczności funkcji pierwiastek:

\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}-\frac{1}{n^2}} - \left|x\right| < \sqrt{x^2}-\left|x\right| = \left|x|-\right|x| = 0 < \frac{1}{n^2}}\)
autor: bakala12
25 kwie 2018, o 15:00
Forum: Kombinatoryka i matematyka dyskretna
Temat: Turniej i jego centrum
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 466

Re: Turniej i jego centrum

Dowód przeprowadzimy przez indukcję matematyczną po liczbie wierzchołków w grafie. Dla grafu o jednym wierzchołku teza jest oczywista. Załóżmy teraz, że teza zachodzi dla dowolnego turnieju o n wierzchołkach. W kroku indukcyjnym rozważmy turniej T o n+1 wierzchołkach. Niech v będzie dowolnym wierzch...
autor: bakala12
25 kwie 2018, o 00:09
Forum: Teoria liczb
Temat: Liczba złożona
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 276

Re: Liczba złożona

Przedstawię inne rozwiązanie. Zauważmy, że ta liczba składa się z samych jedynek! Stąd łatwo widać, że jeżeli k|n to \underbrace{11\dots 1}_{k}|\underbrace{11 \dots 1}_{n} , co dowodzi naszej tezy. Niech n=dk . Wówczas \underbrace{11\dots 1}_{n} = \underbrace{11\dots 1}_{k}\left(10^{\left(k-1\right)...
autor: bakala12
24 kwie 2018, o 23:52
Forum: Teoria liczb
Temat: Potęgowanie modularne
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 392

Re: Potęgowanie modularne

Jeszcze inaczej:
\(\displaystyle{ 235 = 5 \cdot 47}\)
\(\displaystyle{ 2^235 = 32^47 \equiv \left(-2\right)^47 = -2^47 = -2^{-1} \cdot \left(2^16\right)^3 \equiv -9 \equiv 8 \pmod{17}}\)
Z MTF \(\displaystyle{ 2^16 \equiv 1 \pmod{17}}\) i łatwo widać, że \(\displaystyle{ 2^{-1} = 9 \pmod{17}}\)
autor: bakala12
19 kwie 2018, o 01:22
Forum: Inne konkursy ogólnopolskie
Temat: Finał Konkursu MiNI (Politechnika Warszawska 2018)
Odpowiedzi: 16
Odsłony: 2527

Re: Finał Konkursu MiNI (Politechnika Warszawska 2018)

Niezwykle urocze rozwiązanie zadania 5. Niech A',B',C' to punkty przecięcia dwusiecznych kątów odpowiednio A,B,C z przeciwległymi bokami trójkąta. Można policzyć długość dwusiecznej CC' (np. z twierdzenia Stewarta lub jak w jego dowodzie 2 razy z cosinusów) i wychodzi 6\sqrt{2} . Z twierdzenia Van A...
autor: bakala12
12 kwie 2018, o 17:41
Forum: Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne
Temat: Równanie z iloczynem cos(x)
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 258

Równanie z iloczynem cos(x)

\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x = \frac{8\sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{8\sin x} = \frac{\sin 8x}{8\sin x} (zwijamy kolejno do wzoru na sinus kąta podwojonego) Przypadek gdy \sin x =0 należy rozważyć osobno!!! Stąd równanie (dla \sin x \neq 0 można zapisać jako \sin 8x = \sin x...
autor: bakala12
7 kwie 2018, o 16:27
Forum: Planimetria
Temat: Problem z biegunową
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 223

Re: Problem z biegunową

Też miałem kiedyś z tym problem. Z pomocą przychodzi praca:
http://students.mimuw.edu.pl/~tc319421/dwustosunek.pdf
Twierdzenie 1.10
autor: bakala12
4 kwie 2018, o 01:05
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: Perspektywa na OM oczami niewtajemniczonej
Odpowiedzi: 10
Odsłony: 1613

Re: Perspektywa na OM oczami niewtajemniczonej

1) Czy osiągnięcie czegoś na OM jest kwestią talentu czy wypracowania? I na ile ważny jest w tym wszystkim talent? 2) Czy robienie zadań oraz analiza OMJ i przejrzenie biblioteczki z ich strony da jakiś efekt? 3) Jak długo zajęło Wam przejście przez etap, w którym rozwiązywanie takich zadań sprawia...
autor: bakala12
28 mar 2018, o 00:01
Forum: Planimetria
Temat: Okrąg długość odcinka
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 249

Re: Okrąg długość odcinka

https://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_theorem To nie jest dokładnie to twierdzenie (twierdzenie o motylku), Twoje jest nieco ogólniejsze, ale dowód jest niemal identyczny. Dowód jest ładnie rozpisany, dochodzisz do równości: \left(\frac{MX}{MY}\right)^{2} = \frac{\left(PM-MX\right)\left(QM+MX\righ...
autor: bakala12
23 mar 2018, o 07:45
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: LXIX OM
Odpowiedzi: 165
Odsłony: 37275

LXIX OM

Gratulacje dla wszystkich finalistów (jest ich 140)! No i czekamy na jakieś informacje o rzeczywistym progu
autor: bakala12
18 mar 2018, o 13:45
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: XIII OMJ
Odpowiedzi: 127
Odsłony: 18495

XIII OMJ

Bardzo ładne zadania, naprawdę Kolorujemy następująco (działa dla dowolnego n ): 1 dostaje kolor 1 , a dowolna liczba naturalna rozłożona na czynniki pierwsze n=p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}}\dots p_{l}^{\alpha_{l}} dostaje kolor \alpha_{1}+\alpha_{2}+\dots + \alpha_{l}+1 . Pozostawiam jako ćw...
autor: bakala12
16 mar 2018, o 14:28
Forum: Kombinatoryka i matematyka dyskretna
Temat: Eulerowskość grafu trójdzielnego pełnego
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 233

Re: Eulerowskość grafu trójdzielnego pełnego

1. Graf jest trójdzielny. Jaki ma stopień każdy wierzchołek z klasy \(\displaystyle{ p}\), jaki z \(\displaystyle{ q}\) a jaki z \(\displaystyle{ r}\)?
2. Jaki jest warunek konieczny i dostateczny na to żeby graf miał cykl Eulera?
autor: bakala12
16 mar 2018, o 14:23
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Wysokość i dwusieczna kąta prostego
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 715

Re: Wysokość i dwusieczna kąta prostego

Oznacz sobie kawałki na jakie została podzielona przeciwprostokątna. Środkowy ma 3. Jeden niech będzie x a drugi y ( x kawałek przy krótszej przyprostąkątnej a ). Widać 3 trójkąty prostokątne podobne, skąd będzie: \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b} Do tego twierdzenie o dwusiecznej \frac{x+3}...
autor: bakala12
11 mar 2018, o 21:04
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Suma miar zacieniowanych kątów w trójkącie
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 657

Re: Suma miar zacieniowanych kątów w trójkącie

Z czym konkretnie jest problem? Jakieś próby rozwiązania?
Wskazówki:
1. Suma miar kątów w trójkącie to ile? Kąty wierzchołkowe mają równe miary.
2. Jakie mogą być potencjalne wymiary takiego sześcianu (ile najmniej?). Ile trzeba by dołożyć wtedy kostek?