Matematyka.pl

Jestem mocno za stary na te zadania, ale znalazłem chwilkę na przekminę. Nie widziałem żeby pojawiło się moje rozwiązania zadania drugiego, więc je wrzucam

Niech E będzie punktem symetrycznym do D względem prostej AP . Łatwo zauważamy, że trójkąty \Delta AEP i \Delta ADP są przystające. Podobnie ...

Ale jest prawdziwa dla wszystkich liczb, dla których jest określona. Wyznaczenie dziedziny pozostawiam Tobie.
Dowodzić można naprościej korzystając z monotoniczności funkcji pierwiastek:

\sqrt{x^{2}-\frac{1}{n^2}} - \left|x\right| < \sqrt{x^2}-\left|x\right| = \left|x|-\right|x| = 0 < \frac{1}{n^2 ...

Dowód przeprowadzimy przez indukcję matematyczną po liczbie wierzchołków w grafie.
Dla grafu o jednym wierzchołku teza jest oczywista.
Załóżmy teraz, że teza zachodzi dla dowolnego turnieju o n wierzchołkach.
W kroku indukcyjnym rozważmy turniej T o n+1 wierzchołkach. Niech v będzie dowolnym ...

Przedstawię inne rozwiązanie.
Zauważmy, że ta liczba składa się z samych jedynek!
Stąd łatwo widać, że jeżeli k|n to \underbrace{11\dots 1}_{k}|\underbrace{11 \dots 1}_{n} , co dowodzi naszej tezy.
Niech n=dk . Wówczas \underbrace{11\dots 1}_{n} = \underbrace{11\dots 1}_{k}\left(10^{\left(k-1 ...

Jeszcze inaczej:
\(\displaystyle{ 235 = 5 \cdot 47}\)
\(\displaystyle{ 2^235 = 32^47 \equiv \left(-2\right)^47 = -2^47 = -2^{-1} \cdot \left(2^16\right)^3 \equiv -9 \equiv 8 \pmod{17}}\)
Z MTF \(\displaystyle{ 2^16 \equiv 1 \pmod{17}}\) i łatwo widać, że \(\displaystyle{ 2^{-1} = 9 \pmod{17}}\)

Niezwykle urocze rozwiązanie zadania 5.

Niech A',B',C' to punkty przecięcia dwusiecznych kątów odpowiednio A,B,C z przeciwległymi bokami trójkąta. Można policzyć długość dwusiecznej CC' (np. z twierdzenia Stewarta lub jak w jego dowodzie 2 razy z cosinusów) i wychodzi 6\sqrt{2} . Z twierdzenia ...

\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x = \frac{8\sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{8\sin x} = \frac{\sin 8x}{8\sin x}
(zwijamy kolejno do wzoru na sinus kąta podwojonego)

Przypadek gdy \sin x =0 należy rozważyć osobno!!!

Stąd równanie (dla \sin x \neq 0 można zapisać jako
\sin 8x ...

Też miałem kiedyś z tym problem. Z pomocą przychodzi praca:

Twierdzenie 1.10

1) Czy osiągnięcie czegoś na OM jest kwestią talentu czy wypracowania? I na ile ważny jest w tym wszystkim talent?
2) Czy robienie zadań oraz analiza OMJ i przejrzenie biblioteczki z ich strony da jakiś efekt?
3) Jak długo zajęło Wam przejście przez etap, w którym rozwiązywanie takich zadań ...

https://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_theorem

To nie jest dokładnie to twierdzenie (twierdzenie o motylku), Twoje jest nieco ogólniejsze, ale dowód jest niemal identyczny. Dowód jest ładnie rozpisany, dochodzisz do równości:

\left(\frac{MX}{MY}\right)^{2} = \frac{\left(PM-MX\right)\left(QM+MX ...

Gratulacje dla wszystkich finalistów (jest ich 140)! No i czekamy na jakieś informacje o rzeczywistym progu

Bardzo ładne zadania, naprawdę

Kolorujemy następująco (działa dla dowolnego n ):
1 dostaje kolor 1 , a dowolna liczba naturalna rozłożona na czynniki pierwsze n=p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}}\dots p_{l}^{\alpha_{l}} dostaje kolor \alpha_{1}+\alpha_{2}+\dots + \alpha_{l}+1 . Pozostawiam ...

1. Graf jest trójdzielny. Jaki ma stopień każdy wierzchołek z klasy \(\displaystyle{ p}\), jaki z \(\displaystyle{ q}\) a jaki z \(\displaystyle{ r}\)?
2. Jaki jest warunek konieczny i dostateczny na to żeby graf miał cykl Eulera?

Oznacz sobie kawałki na jakie została podzielona przeciwprostokątna. Środkowy ma 3. Jeden niech będzie x a drugi y ( x kawałek przy krótszej przyprostąkątnej a ). Widać 3 trójkąty prostokątne podobne, skąd będzie:
\frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b}
Do tego twierdzenie o dwusiecznej \frac{x ...

Z czym konkretnie jest problem? Jakieś próby rozwiązania?
Wskazówki:
1. Suma miar kątów w trójkącie to ile? Kąty wierzchołkowe mają równe miary.
2. Jakie mogą być potencjalne wymiary takiego sześcianu (ile najmniej?). Ile trzeba by dołożyć wtedy kostek?