Wysokość i dwusieczna kąta prostego
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 15 maja 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 50 razy
Wysokość i dwusieczna kąta prostego
W trójkącie prostokątnym z wierzchołka kąta prostego poprowadzono dwusieczną o długości 5 i wysokość o długości 4 oblicz pole trójkąta.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Re: Wysokość i dwusieczna kąta prostego
Oznacz sobie kawałki na jakie została podzielona przeciwprostokątna. Środkowy ma 3. Jeden niech będzie \(\displaystyle{ x}\) a drugi \(\displaystyle{ y}\) (\(\displaystyle{ x}\) kawałek przy krótszej przyprostąkątnej \(\displaystyle{ a}\)). Widać 3 trójkąty prostokątne podobne, skąd będzie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b}}\)
Do tego twierdzenie o dwusiecznej \(\displaystyle{ \frac{x+3}{y}=\frac{a}{b}}\)
i liczymy.
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b}}\)
Do tego twierdzenie o dwusiecznej \(\displaystyle{ \frac{x+3}{y}=\frac{a}{b}}\)
i liczymy.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Wysokość i dwusieczna kąta prostego
bakala12, zupełnie nie pamiętałem, że istnieje twierdzenie o dwusiecznej i kombinowałem, jak koń pod górę...
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 15 maja 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 50 razy
Re: Wysokość i dwusieczna kąta prostego
Wychodzi \(\displaystyle{ x= \frac{4}{7}, y=25, P= \frac{400}{7}}\), czyli tyle co w odpowiedziach. Dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 22 kwie 2018, o 22:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 177
- Rejestracja: 23 lut 2011, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: Wysokość i dwusieczna kąta prostego
Czy to aby na pewno jest dobrze ?bakala12 pisze:Oznacz sobie kawałki na jakie została podzielona przeciwprostokątna. Środkowy ma 3. Jeden niech będzie \(\displaystyle{ x}\) a drugi \(\displaystyle{ y}\) (\(\displaystyle{ x}\) kawałek przy krótszej przyprostąkątnej \(\displaystyle{ a}\)). Widać 3 trójkąty prostokątne podobne, skąd będzie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b}}\)
Do tego twierdzenie o dwusiecznej \(\displaystyle{ \frac{x+3}{y}=\frac{a}{b}}\)
i liczymy.
Stosunek boków trójkątów podobnych nie jest taki sam stosunkom z właściwości o dwusiecznej kąta w trójkącie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ \neq}\)
\(\displaystyle{ \frac{x+3}{y} \neq \frac{a}{b}}\)
No tak w tym jednym przypadku, kiedy mamy do czynienia z wysokością puszczoną z konta prostego jest to prawda, gdyż boki opisanego trójkąta mają taki sam stosunek, a więc jeśli określić \(\displaystyle{ a}\) jako krótszą przyprostokątną i \(\displaystyle{ b}\) jako dłuższą:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{x+3}{y} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y}}\), ale tylko w tym przypadku, jeśli to nie byłby trójkąt prostokątny to taka równość byłaby nieprawdziwa.