Matematyka.pl

Mozna podstawieniami Eulera. Prosciej bedzie jednak sprowadzic wyrazenie pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej \(\displaystyle{ 2x+x^2=(x+1)^2-1}\), i podstawic \(\displaystyle{ x+1=\cosh t}\). Zostaje do policzenia calka \(\displaystyle{ \int\sinh t\cosh t dt}\), co juz jest proste (wynik \(\displaystyle{ \frac12 sinh^2 t}\), gdzie \(\displaystyle{ t={\rm ar\,sinh\, }(x+1)}\)).

Całka krzywolmiowa to calka wzdluz elementu dlugosci jrzywej \int f(x(s),y(s)) ds .
Elementem dlugosci krzywej jest ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=dx\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} , czyli sprowadzasz calkowanie wzdluz krzywej co calkowania po x w odpowiednich granicach z elementem krzywoliniowym \sqrt{1+(\frac ...

Przeciez funkcja pod calka to pochodna \(\displaystyle{ \sqrt{1+x^2}}\), i juz.
Mozna jeszcze podstwieniem hiperbolicznym \(\displaystyle{ x=\sinh t}\), szybko otrzymujemy taki sam wynik. Po co od razu podstawienia Eulera?