Matematyka.pl

Ok, wyszło z tego \(\displaystyle{ 2\int\frac{tdt}{2-t}}\). Czy teraz powinienem całkować przez części, gdzie \(\displaystyle{ f(x) = t}\)?

argv pisze:1)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=t}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}dx = -dt}\)

\(\displaystyle{ -\int sintdt = ...}\)

Faktycznie, wstyd -- 9 sie 2009, o 13:38 --

miodzio1988 pisze:Podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} =t}\)
i
\(\displaystyle{ \sqrt{x}=t}\)
\(\displaystyle{ x= t^{2}}\)
\(\displaystyle{ dx= 2tdt}\)

Podajesz 2 podstawienia. To oznacza, że mam oba zastosować naraz?

Widzę że z całkowaniem masz nie tyle problemy natury technicznej, co etyczno-filozoficznej.

Rozbijasz na ułamki proste, ponieważ widzisz (wiem że jeszcze nie widzisz), że jest to droga która pozwoli Ci otrzymać wynik ostateczny. Jeśli widzisz również inną drogę, to też możesz nią pójść. Jak ...

Masz rację. Ale teraz dochodzę do tego:

\frac{1}{2} \int \frac {\sqrt{t+1}}{t}dt

i nie wiem jak to dalej pocisnąć.

Jak doszedłeś do tego?? Pokaż, bo nie mogę uwierzyć.
Rozkład na ułamki proste Ci coś mówi?

Poprzez x^2 - 1 = t . Dlaczego miałbym skorzystać z rozkładu na ułamki prostę? Tylko ...

Masz rację. Ale teraz dochodzę do tego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac {\sqrt{t+1}}{t}dt}\)

i nie wiem jak to dalej pocisnąć.

Kolejna całka z wątlipwościami:

\(\displaystyle{ \int \frac {dx}{x^2 - 1} = \frac {1}{2} \int \frac {dt}{t} = \frac {1}{2} \ln |x^2 - 1| + C}\)

Jest dobrze rozwiązana?

czeslaw pisze:Z tego, że w rachunku całkowym nie rozwiązuje się przykładów metodą dowolną...
Przez podstawienie jest ok.

Ok w takim razie skąd mam wiedzieć, że akurat w tej chwili mam użyć danej metody? Teoretycznie otrzymałem jakiśtam sensowny wynik metodą przez części, mimo iż faktycznie błędny.

Teraz wyszło mi:
\(\displaystyle{ x arcctg x + \frac{1}{2} \ln |1 + x^2|}\)
I z czego wynika fakt, że muszę użyć całkowania przez podstawianie zamiast ponownie przez części?

Tak, oto moje wyniki:
\(\displaystyle{ \int arcctg x dx = x arcctg x + \int \frac {x}{1 + x^2} dx = x arcctg x + x arctg x - arctg x}\)
Jest ok?

Mógłbym prosić o rozwiązanie step-by-step z komentarzem?

\(\displaystyle{ \int arcctg x dx}\)

KPR pisze:Całka z \(\displaystyle{ \ln x}\) nie wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) (tyle wynosi pochodna)

I wszystko jasne, ach te upały Dzięki.

Wg. moich obliczeń to nie, ale też nie jestem pewien moich umiejętności w tej dziedzinie. Proszę więc o właściwe rozwiązanie (metodą całkowania przez części)

\(\displaystyle{ \int \ln^2x\ dx = x\ln^2x - 2\int \ln x\ dx = x\ln^2x - \frac{2}{x} + C}\)

Podręcznik mówi, że nie mam racji, a ja jestem prawie pewien, że mam Proszę o odpowiedź.

Faktycznie, pomyliłem znak między pierwszą i drugą całką. Dzięki, już rozumiem
Edit: Tfu, pomyliłem oczywiście znak przed pierwszą całką.

-- 1 sie 2009, o 08:42 --

Szukałem analogii do pierwszego przykładu, ale nie udało mi się. Jak to zostało przekształcone?

x\arcsin x-\int x\frac{1}{\sqrt{1-x ...

Dziękuję.. a oto kolejne tajemnicze dla mnie przekształcenie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}x^3\arctg x+\frac{1}{3}\int x^3\frac{1}{1+x^2}dx=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{3}x^3\arctg x+\frac{1}{3}\int xdx+\frac{1}{3}\int \frac{xdx}{1+x^2}}\)

Poproszę o wyjaśnienie.