Całka nieoznaczona

[Madelebele]

Mógłbym prosić o rozwiązanie step-by-step z komentarzem?

\(\displaystyle{ \int arcctg x dx}\)

[miodzio1988]

Przez części. Chyba ze wzoru umiesz korzystać, nie?

[Madelebele]

Tak, oto moje wyniki:
\(\displaystyle{ \int arcctg x dx = x arcctg x + \int \frac {x}{1 + x^2} dx = x arcctg x + x arctg x - arctg x}\)
Jest ok?

[Nakahed90]

Nie jest dobrze, drugą robisz przez podstawienie \(\displaystyle{ t=1+x^2}\)

[Madelebele]

Teraz wyszło mi:
\(\displaystyle{ x arcctg x + \frac{1}{2} \ln |1 + x^2|}\)
I z czego wynika fakt, że muszę użyć całkowania przez podstawianie zamiast ponownie przez części?

[czeslaw]

Z tego, że w rachunku całkowym nie rozwiązuje się przykładów metodą dowolną...
Przez podstawienie jest ok.

[Madelebele]

Z tego, że w rachunku całkowym nie rozwiązuje się przykładów metodą dowolną...
Przez podstawienie jest ok.

Ok w takim razie skąd mam wiedzieć, że akurat w tej chwili mam użyć danej metody? Teoretycznie otrzymałem jakiśtam sensowny wynik metodą przez części, mimo iż faktycznie błędny.

[czeslaw]

Nie można podać ogólnego algorytmu na całkowanie funkcji będących złożeniem dowolnych funkcji elementarnych. Przeliczenie dużej liczby przykładów prowadzi jednak do osiągnięcia pewnej rutyny.

Przez części nie jest poprawnie zrobione.

[Madelebele]

Kolejna całka z wątlipwościami:

\(\displaystyle{ \int \frac {dx}{x^2 - 1} = \frac {1}{2} \int \frac {dt}{t} = \frac {1}{2} \ln |x^2 - 1| + C}\)

Jest dobrze rozwiązana?

[Zordon]

Kolejna całka z wątlipwościami:

\(\displaystyle{ \int \frac {dx}{x^2 - 1} = \frac {1}{2} \int \frac {dt}{t} = \frac {1}{2} \ln |x^2 - 1| + C}\)

Jest dobrze rozwiązana?

zle jest, pisz podstawienia to bedziesz widzial błąd.
A sprawdzenie przecież możesz sam wykonać, zróżniczkuj wynik.

[Madelebele]

Masz rację. Ale teraz dochodzę do tego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac {\sqrt{t+1}}{t}dt}\)

i nie wiem jak to dalej pocisnąć.

[miodzio1988]

Masz rację. Ale teraz dochodzę do tego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac {\sqrt{t+1}}{t}dt}\)

i nie wiem jak to dalej pocisnąć.

Jak doszedłeś do tego?? Pokaż, bo nie mogę uwierzyć.
Rozkład na ułamki proste Ci coś mówi?

[Madelebele]

Masz rację. Ale teraz dochodzę do tego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac {\sqrt{t+1}}{t}dt}\)

i nie wiem jak to dalej pocisnąć.

Jak doszedłeś do tego?? Pokaż, bo nie mogę uwierzyć.
Rozkład na ułamki proste Ci coś mówi?

Poprzez \(\displaystyle{ x^2 - 1 = t}\). Dlaczego miałbym skorzystać z rozkładu na ułamki prostę? Tylko dlatego, że się da, czy że to jedyna słuszna droga? Pytam poważnie

[miodzio1988]

To nie jest jedyna sluszna droga, ale jest drogą najłatwiejszą.

[argv]

Z Twojego podstawienia masz:
\(\displaystyle{ \\
x^{2}-1 = t
\\
2xdx = dt
\\
xdx = \frac{dt}{2}}\)

a w liczniku masz samo dx a nie xdx wiec nie da rady ...
Posluchalbym miodzia