Matematyka.pl

\(e^g\)

24, kto da więcej? \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&&&x&x&&&x\\ \hline &x&x&&&x&x&\\ \hline &x&&&&&x&\\ \hline x&&&&&&&x\\ \hline x&&&&&&&x\\ \hline ...

lemat: \(x_1,\ldots,x_k\ge 0 \implies \prod_{i=1}^k(1+x_i)\ge 1+\sum_{i=1}^k x_i\) dowód lematu oczywisty, wystarczy wymnożyć nawiasy z lematu, AM-GM i \(t-1\ge \ln t\) mamy $$ \begin{align*} 2022! &= \left(\prod_{i=2}^{2022} (1+(i^{1/n}-1))\right)^n \\ &\ge \left(1+\sum_{i=2}^{2022} (i^{1/n...

przecież okrąg można wyciąć z różnych stożków

porównywalnie trudne (a może raczej porównywalnie łatwe): jeśli \(ab=cd\) i \(0<c<a\le b<d\) to
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+c}-\frac{1}{1+d} = \frac{(1-ab)(a-c)(b-c)}{c(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)} $$

dzięki, mniej więcej tego typu argumentu się spodziewałem dopowiem jeszcze, że zamiast zsuwać dwie liczby do ich średniej geometrycznej można jedną zsunąć do średniej geometrycznej wszystkich liczb, a drugą do takiej liczby by zachować iloczyn --- w ten sposób można ominąć twierdzenie o osiąganiu m...

dzięki, mniej więcej tego typu argumentu się spodziewałem dopowiem jeszcze, że zamiast zsuwać dwie liczby do ich średniej geometrycznej można jedną zsunąć do średniej geometrycznej wszystkich liczb, a drugą do takiej liczby by zachować iloczyn --- w ten sposób można ominąć twierdzenie o osiąganiu ma...

a4karo pisze: ↑2 mar 2022, o 09:57Można inaczej: zastąpienie dwóch różnych `a`-ków po lewej stronie ich średnią geometryczną nie zmienia prawej strony, a zwiększa (zmniejsza) lewą.

z ciekawości zapytam: w jaki sposób dowodzisz wyjściowej nierówności na podstawie tej obserwacji?

a4karo pisze: ↑22 sty 2022, o 13:16

Elayne pisze: ↑22 sty 2022, o 13:03

7:    

Przekątna rozcinająca równoległościan jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\).

Prostopadłościan ok, ale równoległościan?

bo \(\|u+v+w\|^2+\|u+v-w\|^2+\|u-v+w\|^2+\|-u+v+w\|^2=4(\|u\|^2+\|v\|^2+\|w\|^2)\)

minusy i pierwiastki niepotrzebnie wprowadzają zamieszanie, dlatego warto podstawić \(x_n=-\frac 12 A_n\) i \(y_n=\sqrt{B_n}\) mamy wtedy \(x_0, y_0>0\) oraz rekurencje \(x_{n+1}=\frac{x_n + y_n}{2}\) i \(y_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}\) ciągi \(x_n, y_n\) mają wspólną granicę zwaną https://pl.wikipedia.org/...

@up racja, zapomniałem, że zbiory mogą być niemierzalne

Dasio11 pisze: ↑24 gru 2021, o 11:50nawet bez założenia o dodatniej objętości, wystarczy ograniczoność i niepuste wnętrze

przecież niepuste wnętrze implikuje dodatnią objętość

Dopiero dziś zobaczyłem ten wątek.

Człowiek z wielką wiedzą i z wielką klasą.

[*]

polecam materiały podlinkowane przez przedmówcę, w przystępny sposób wyjaśniają metodę Newtona

szw1710 pisze: ↑4 gru 2021, o 12:50 A z czego się śmiejesz. Osobiście "LOL" odbieram lekceważąco. Chyba mnie nie lekceważysz...

dawno mnie nic tak nie rozbawiło dzięki za dawkę humoru

można rzutowo: niech \(BD\) tnie \(AC\) i \(EG\) w \(X\) i \(Y\), wtedy \(B,D,X,Y\) jest czwórką harmoniczną \(AX\) jest dwusieczną kąta \(BAD\), więc z tego, że czwórka \(B,D,X,Y\) jest harmoniczna dostajemy, że \(AX \perp AY\) jeśli teraz oznaczymy przecięcie \(EG\) z \(AC\) przez \(Z\), to czwórk...