Matematyka.pl

jeśli przyjmujemy taki sposób rozumowania to chyba prościej będzie
12 = 10+2 = 502+500 = 1002

No wiadomo - łatwo wykazać, że f musi być stopnia 3 - w przeciwnym razie nie dałoby się udowodnić tego, co było w poleceniu - a inaczej się nie da. Wg mnie to dość duży błąd w zadaniu.

może być równie dobrze np: f(x) = (x^2+1)(x+6)(x+5)(x+3)

Ja mam wątpliwości odnośnie zadania pierwszego. Nadal nie wiem w jaki sposób stwierdzić , że wielomian f jest stopnia 3, a tylko wtedy da się udowodnić to, co trzeba...
W rozwiązaniu napisali, że da się przedawić jako f=a(x+6)(x+5)(x+3), gdzie a należy do R.
ale przecież możemy tylko stwierdzić, że ...

Nawet jeśli matematyka miałaby być zbiorem tautologii (w czym na pewno jest dużo prawdy), to jednak - jako stronnik realizmu (w znaczeniu filozofii matematyki) - uważam, że struktura tych logicznych tautologii pochodzi z pewnego Absolutu, z którym możemy obcować jedynie za pośrednictwem matematyki ...

Można tak:



P=\frac{(|AB|+|CD|)h}{2}=\frac{3|CD|h}{2}
h - wysokość trapezu

Trójkąty ABX i CDX są podobne (z kątów), znamy ich skalę podobieństwa (2) zatem h_1=2h_2 , gdzie h_1 - wysokość trójkąta ABX, h_2 - wysokość trójkąta CDX.

Ponadto mamy h_1+h_2=h , stąd z tych dwóch równań:
h_1=\frac{2 ...

Spróbowałbym analitycznie:
weźmy, za początek układu współrzędnych środek kwadratu i koła.
A(-a,-a)
B(a,-a)
C(a,a)
D(-a,a)

Równanie prostej A-środek CD:
y=2x+a
Równanie koła:
x^2+y^2=a^2

Rozwiązaniami tego układu będą punkty przecięcia się prostej i okręgu. Jak je już znajdziemy, obliczymy ...

Zauważ, że trójkąty ABE i GDE są podobne (kąty naprzemianległe i wierzchołkowe).
Stąd:
\frac{|AE|}{|EG|}=\frac{|EB|}{|DE|}
Podobnie BFE i DAE są podobne (też kąty wierzchołkowe i naprzemianległe).
Stąd:
\frac{|EF|}{|AE|}=\frac{|EB|}{|DE|}

Porównując te dwa równania wychodzi od razu, że:
\frac ...

Jasne, dzięki jaki wstyd... powinno być:

S_T = \frac{(a_1+a_2)(h_1+h_2)}{2}
2S_T = a_1(h_1+h_2)+a_2(h_1+h_2)
2S_T = a_1h_1\frac{(h_1+h_2)}{h_1}+a_2h_2\frac{(h_1+h_2)}{h_2}
2S_T = 2S_1\frac{(h_1+h_2)}{h_1}+2S_2\frac{(h_1+h_2)}{h_2}
S_T = S_1(1+\sqrt{\frac{S_2}{S_1}})+S_2(1+\sqrt{\frac{S_1 ...

000562

Pierwszego dnia mi nie poszło, trudno. Zostaje wobec tego tylko fizyka...
Ale jestem dumny, bo mam punktowane 6., a to - z tego, co napisano w tym temacie - rzadkość

Może tak:
Rozważmy trójkąt ABD.
ma on długości boków 2 i 4 i kąt między nimi 60 stopni - łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny (połówka trójkąta równobocznego) - przyprostokątne 2 i 2\sqrt{3} (tą drugą łatwo wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa) - zatem jego pole wynosi
P_A_B_D=\frac{2\sqrt{3 ...

W trójkątach kąty są:
ASB-CSB - wierzchołkowe - równe.
BAS-DCS - naprzemianległe przy prostych równoległych - równe
ABS-CDS - naprzemianległe przy prostych równoległych - równe

Wszystkie kąty są parami równe, więc trójkąty są podobne.

Szukamy kotangensa fioletowego kąta.
Widać, że
fioletowy = niebieski - czerwony

Ponadto, ponieważ mamy do czynienia ze środkowymi:
ctg(czerwony)=2\\
ctg(niebieski)=\frac{1}{2}

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego:
ctg(fioletowy)=ctg(niebieski-czerwony)=\frac{ctg(niebieski)\cdot ctg ...

Wysokość trójkąta liczymy z Pitagorasa: 4

Na początku zastanowić trzeba się, ile wynosi szerokość prostokąta w zależności od jego wysokości.

Zauważmy, że trójkąt o podstawie w górnym boku prostokąta (o wysokości 4-h ) jest podobny do całego trójkąta, czyli mamy:

\frac{4}{6}=\frac{4-h}{x} x ...

\(\displaystyle{ 2S_T = S_1+S_1\sqrt{\frac{S_2}{S_1}}+S_2+S_2\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}}\)
\(\displaystyle{ 2S_T = S_1+\sqrt{S_1^{2}}\sqrt{\frac{S_2}{S_1}}+S_2+\sqrt{S_2^{2}}\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}}\)
\(\displaystyle{ 2S_T = S_1+\sqrt{\frac{S_2S_1^{2}}{S_1}}+S_2+\sqrt{\frac{S_2^{2}S_1}{S_2}}}\)
\(\displaystyle{ 2S_T = S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2+\sqrt{S_1S_2}}\)

Może tak:

Oznaczę:
a_1 - podstawa trójkąta S_1
a_2 - podstawa trójkąta S_2
h_1 - wysokość trójkąta S_1
h_2 - wysokość trójkąta S_2

S_1 = \frac{a_1h_1}{2}
S_2 = \frac{a_2h_2}{2}

Trójkąty S_1 i S_2 są podobne.

\frac{a_1}{h_1}=\frac{a_2}{h_2}

Zatem stosunek ich pól jest ...