Matematyka.pl

a)
P(B) = \frac{M}{M+N}, \ P(Cz) = \frac{N}{M+N}

P(I) - prawdopodobieństwo, że wygra gracz I

Zauważ, że aby wygrał gracz I, to musi w pierwszym ruchu trafić na kulę białą LUB musi wylosować czarną, potem II gracz musi wylosować czarną, a następnie I trafia na białą LUB I - czarna, II - czarna ...

Możemy to zrobić dwojako:

1) Mozna znaleźć podprzestrzeń własną i sprawdzić jej wymiar. Wymiar tej podprzestrzeni = liczba klatek Jordana. Zatem jeśli liczba klatek wynosi 1,3 lub 4 mamy tylko jedną możliwość (z dokładnością do kolejności) na macierz Jordana.
Dla wymiaru 1: jedna klatka 4x4.
Dla ...

To może najpierw podpowiedź: wzory redukcyjne.

Coś w tej funkcji popsułeś, bo dla \(\displaystyle{ x=y}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ f(x,x) = \frac{x^2}{1-\sqrt{2x^2+1}} = \frac{x^2(1+\sqrt{2x^2+1})}{-2x^2} \rightarrow -1}\)

Wybierasz czas wypadnięcia pierwszego orła - 29 możliwości, za nim drugi orzeł - 1 możliwość, reszta to reszki.

Zatem to o co pytasz ma prawdopodobieństwo: \frac{29}{2^{30}} . Teraz już chyba uogólnisz to z łatwością. Oczywiście, to jest prawdopodobieństwo wypadnięcia dwóch orłów pod rząd przy 30 ...

Mamy n kobiet i n mężczyzn. Będziemy się starali wybrać lidera męskiego i żeńskiego oraz podzielić pozostałe osoby na dwie grupy.

Możemy zrobić to na dwa sposoby. Pierwszy (prawa strona równania) to taki, że wybieramy jednego mężczyznę i jedną kobietę n \cdot n sposobów. Pozostałe osoby mieszamy ze ...

Dla \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) dodatnich?

Np 1)
Skorzystamy, że \(\displaystyle{ 2cd \le c^2+d^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d}<2 \iff \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2}<4}\)

\(\displaystyle{ 4 > \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2} = \frac{a^2 + 2ab+b^2}{c^2+2cd+d^2} > \frac{a^2+b^2}{c^2+c^2+d^2+d^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}}\)

A stąd
\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2} < 8}\)

Wnioskuję, że ten x tyczy się całego ułamka.. Zatem lewa strona wygląda jak suma ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a_1=\frac{1}{3^x} i ilorazie q=-\frac{1}{3} .
Korzystając ze wzoru na nieskończoną sumę takiego ciągu mamy:
\frac{\frac{1}{3^x}}{1-(-\frac{1}{3})} \ge 3^{2-x}-0,9

\frac{3}{4 ...

N(t) -wielkość populacji w czasie t
N(0)=N_0
Z treści zadania:
\dot N = p N

Łatwo rozwiązujemy równanie: ( N \neq 0 ):

N(t)=N_0 e^{pt}

Załóżmy, że t oznacza lata.

Wtedy:

N(1) = (1+ \frac{r}{100})N_0

N_0 e^p = (1+ \frac{r}{100})N_0

p = \ln (1+ \frac{r}{100})

N(t)=N_0 (1+ \frac ...

S=2\pi r^2 + 2\pi r H \\ H= \frac{S}{2\pi r} - r \\ V=\pi r^2 \cdot H \\ V(r) = \pi r^2 (\frac{S}{2\pi r} - r ) = \frac{S}{2} r - \pi r^3 \\ V'(r)= \frac{S}{2} - 3\pi r^2 \\ V'(r)=0 \\ \frac{S}{2} = 3 \pi r^2 \\ r = \sqrt{\frac{S}{6 \pi}}
Jest to maksimum, ponieważ dla wartości większych pochodna ...

A tak, sorki za tę literówkę z kwadratami. Oczywiście powinno być bez kwadratów, czyli zgodnie z odpowiedzią.

a,b - krawędzie podstawy prostopadłościanu
H - wysokość prostopadłościanu = wysokość stożka

a=\cos{\alpha}\cdot d
b=\cos{\beta}\cdot d

V_p=a\cdot b \cdot H = d^2\cdot H \cdot \cos{\alpha}\cdot\cos{\beta}

r - promień podstawy stożka

(2r)^2=a^2+b^2 \\ 4r^2=a^2+b^2 \\ r^2= \frac{1}{4} (d ...

metoda c). Mają być wielomiany nierozkładalne.