Znaleźć wymiary zamkniętej cylindrycznej puszki

[dawcza3]

Witam, mam problem z następującym zadaniem:
Znaleźć wymiary zamkniętej cylindrycznej puszki, która przy danej powierzchni S ma największą objętość.

[Mortify]

\(\displaystyle{ S=2\pi r^2 + 2\pi r H \\ H= \frac{S}{2\pi r} - r \\ V=\pi r^2 \cdot H \\ V(r) = \pi r^2 (\frac{S}{2\pi r} - r ) = \frac{S}{2} r - \pi r^3 \\ V'(r)= \frac{S}{2} - 3\pi r^2 \\ V'(r)=0 \\ \frac{S}{2} = 3 \pi r^2 \\ r = \sqrt{\frac{S}{6 \pi}}}\)
Jest to maksimum, ponieważ dla wartości większych pochodna jest ujemna, a dla mniejszych dodatnia.

\(\displaystyle{ H= \frac{S}{2\pi \sqrt{\frac{S}{6 \pi}}} - \sqrt{\frac{S}{6 \pi}} =\frac{3\sqrt{S}}{\sqrt{6\pi}} - \sqrt{\frac{S}{6 \pi}} = 2\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}}\)