Matematyka.pl

Jakiej mocy są zbiory wszystkich takich funkcji z \NN w \NN , że: (a) obraz każdego zbioru skończonego jest skończony, (b) obraz każdego niepustego zbioru skończonego jest nieskończony, (c) przeciwobraz każdego zbioru skończonego jest skończony, (d) przeciwobraz każdego niepustego zbioru skończonego...

Załóżmy, że n \in \mathbb{N} i n > 1 . (1) Udowodnić, że poniższa funkcja jest iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej \mathbb{R}^{n,n} nad ciałem \mathbb{R} : \left\langle A, B \right\rangle = tr(A^T B) , gdzie tr() - ślad macierzy i A, B \in \mathbb{R}^{n,n} . (2) Niech B_k \in \mathbb{R}^{n,n...

Mam liniowy porządek \langle X, \leq \rangle i dowolne A, B \subseteq X . Czy jeśli istnieje sup (A\cup B) , to istnieją sup A i sup B ? Myśle, że nie. Kontr-przykład: Niech X będzie zbiorem \mathbb{Q} i niech A = \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 \leq 2\} , B = \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 \leq 4\} . Oczywiśc...

Mam taką \ker(F) \ker(F)=\left\{\left.\begin{bmatrix}0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & -a_{13} & 0 \end{bmatrix}\right\vert a_{12},a_{13}\in\Bbb R\right\}. Teraz trzeba pokazać, że (**) \left\{\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & ...

Poradziłem sobie ze wszystkim, nie było to trudne, z wyjątkiem porządku liniowego. Chyba nie jest liniowym, bo nie zachodzi definicja liniowego porządku: \forall f(n) \ \forall g(n) \ (f(n), g(n) \in (\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}) \rightarrow (f(n) \ \le \ g(n) \vee g(n) \ \le \ f(n))) Na przyk...

Odwzorowanie F:\mathbb{R}^{2,3} \rightarrow \mathbb{R}[x]_3 jest dane wzorem F(A)(x) = [1, x] \cdot A \cdot \begin{bmatrix}1\\x\\x ^{2} \end{bmatrix} , dla A \in\mathbb{R} ^{2, 3} . (a) Udowodnij, że F jest przekształceniem liniowym z przestrzeni \mathbb{R}^{2,3} w przestrzeń \mathbb{R}[x]_3 (obie n...

W zbiorze \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} wszystkich funkcji z \mathbb{N} do \mathbb{N} określono relację \le w ten sposób, że f \le g \Leftrightarrow \forall n.f(n) \le g(n) . Udowodnić, że \le jest częściowym porządkiem. Wskazać wszystkie elementy minimalne, najmniejsze, maksymalne, największe. ...

Niech x_n=\sqrt{7n+1}-\sqrt{7n} dla n\in\mathbb{N} . Dla każdej wartości parametru p\in\mathbb{R} rostrzygnij, czy szereg \sum_{n = 1}^{ +\infty }(-1)^n\left(x_n\right)^p jest: 1. zbieżny, 2. zbieżny bezwzględnie, 3. zbieżny warunkowo. Rozwiązanie tego zadania można podzielić na 3 przypadki: 1) Gdy ...

Bardzo dziękuję Panu za odpowiedzi. Charakteryzacja klas abstrakcji jest poprawna, ale to nie są zbiory potęgowe, więc argument jest niepoprawny. Może lepiej wziąć taką charakteryzację: [n]=\{\{n\}\cup D: D\in P(\mathbb{N} \setminus \{ 0,1,...,n\})\}, wtedy nietrudno uzasadnić, że jest to zbiór równ...

Dane są macierze \(\displaystyle{ A, B \in \RR^{n,n}}\) takie, że Udowodnij, że Jakieś wskazówki do rozwiązania?

Mam taką odpowiedź na pierwsze pytanie. Czy jest poprawne? Zbiór ilorazowy P(\mathbb{N})/_r jest zbiorem wszystkich klas równoważności modulo r . Każda klasa zawiera podzbiory \mathbb{N} , które mają identyczne elementy minimalne. Klas równoważności jest tyle, ile jest możliwych elementów minimalnyc...

Dana jest następująca relacja równoważności \(\displaystyle{ r \subseteq P(\mathbb{N}) ^{2}}\):
\(\displaystyle{ P \ r \ Q}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ P = Q = \emptyset}\) lub
\(\displaystyle{ P, Q \neq \emptyset}\) i \(\displaystyle{ \min\ P = \min\ Q}\).

Jakiej mocy jest zbiór ilorazowy \(\displaystyle{ P(\mathbb{N})/_r}\)? Jakie są moce poszczególnych klas abstrakcji?

Jaki masz konkretnie problem z tym zadaniem? Znasz definicję relacji równoważności? To wystarczy, by zrobić (a). Na razie mam coś takiego: (a) 1) Zwrotność: Weźmy dowolny wielomian f \in \ZZ[x] . Wtedy f - f = 0 , a 0 jest liczbą parzystą, więc f - f ma wszystkie współczynniki parzyste (bo ma tylko...

Niech \ZZ[x] oznacza zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x o współczynnikach całkowitych i niech r będzie taką relacją w zbiorze \ZZ[x] , że \left\langle f, g\right\rangle \in r zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy różnica f - g ma wszystkie współczynniki parzyste. (a) Pokazać, że r jest relacją równo...