Matematyka.pl

Gdybyśmy ograniczyli myślenie do prostej y=0 i wybrali na niej punkt wymierny x=\frac{a}{b} dla a,b \in \mathbb{N} to wymierne odległości już mamy do (0,0) i (0,1) . Jeśli założymy, że od (0,1) do (\frac{a}{b}, 0) jest długość wymierna \frac{x_{1}}{x_{2}} dla x_{1},x_{2} \in \mathbb{N} i podobnie od ...

Gdybym miał tabelkę wartości funkcji trygonometrycznych dla \frac{1}{6}\pi,\frac{1}{4}\pi,\ \frac{1}{3}\pi,\ \frac{1}{2}\pi , znał przekształcenia: \cos\left(-x\right)=\cos\left(x\right) , \sin\left(x\right)=-\sin\left(x\right) może jeszcze \sin\left(\pi+x\right)=-\sin x, \cos\left(\pi+x\right ...

Trójkąt równoramienny: A=(A_{x}, 0), B=(0, B_{y}), C=(-A_{x},0) , dla A_{x}>0, B_{y}>0 .
Ustawić środek okręgu o promieniu r=1 w punkcie O=(0, 1) .

Ze wzoru na okrąg i wzoru na prostą przecinającą punkty A i B , otrzymamy układ równań ze zmiennymi x, y wskazujący na przecięcia tych dwóch obiektów ...

Żeby otrzymać taki trójkąt, trzeba znaleźć rozwiązanie układu równań w liczbach naturalnych:


\left\{
\begin{array}{l}
\left(a_{1}b_{1}\right)^{2}-\left(2a_{2}b_{2}\right)^{2} &= r_{1}^{2} \\
\left(a_{1}b_{2}\right)^{2}+\left(b_{1}a_{2}\right)^{2}\pm2a_{2}b_{2}r_{1} &= c_{1}^{2}
\end{array}
\right ...

Zakładam, że wszystkie boki mają być wymierne.

Niech r, a \in \QQ będą parą liczb wymiernych spełniającą warunki:

(1) a>0
(2) \sqrt{r^{2}+4} \in \QQ
(3) \sqrt{a^{2}+\frac{r^{2}+4}{a^{2}}+2r} \in \QQ lub \sqrt{a^{2}+\frac{r^{2}+4}{a^{2}}-2r} \in \QQ

Wtedy niech:
b=\frac{\sqrt{r^{2}+4}}{a}
c ...

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n+\left(-1\right)^{n}}{n^{4}-n^{2}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{3}-n}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{n^{4}-n^{2}}

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{3}-n}=\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)=\frac{1 ...

W mojej książce rozszerzenie Galois definiuje się jako rozszerzenie algebraiczne ciała, wobec którego istnieje automorfizm będący identycznością na ciele rozszerzanym, a na pozostałych elementach nie, tak to zrozumiałem.

Rozszerzenie L ciała K nazywamy rozszerzeniem Galois , jeśli jest to ...

Jak udowodnić, że ciało liczb algebraicznych jest rozszerzeniem Galois ciała liczb wymiernych?

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną, a K dowolnym ciałem. W ciele K istnieje taki pierwiastek e stopnia n z 1 , że każdy pierwiastek n -tego stopnia z 1 (należący do ciała K ) jest potęgą elementu e

Dowód:


Każdy pierwiastek n -tego stopnia z 1 jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia nie ...

Jak dobrze zrozumiałem, to:
P to pierścień wielomianów stałych (a, 0, 0, ...) , a \in A , gdzie A jest dowolnym pierścieniem
P[x] to pierścień wielomianów genereowany przez P \cup \{x\} gdzie x = (0,1,0,0,...)

Były tam jeszcze zdefiniowane działania na tych wielomianach:
jeśli f = (f_0,f_1,f_2 ...

Wskazać taki podpierścień pierścienia P[x] , który zawiera P i jest różny od P , ale nie jest izomorficzny z P[x]

Pomyślałem, że takimi podpierścieniami byłyby P[x^2] , P[x^3] i chyba też P[x^2,x^3,x^4,x^5,...] (nie wiem czy to dobrze zapisuję) no ale nie udało mi się wykazać czy one nie są ...

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolną przestrzenią topologiczną, a \(\displaystyle{ Y}\) przestrzenią metryczną. Dowieść, że jeżeli funkcje \(\displaystyle{ f_{n}: X \to Y}\) (\(\displaystyle{ n=1,2,...}\)) są ciągłe, i \(\displaystyle{ f_{n}\rightrightarrows f}\) (są zbieżne jednostajnie do \(\displaystyle{ f}\)), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła.

Jak to rozwiązać?

Mam zadanie następującej treści:

Niech algebra \alpha = (A, o_{1}, ... ,o_{n}) będzie algebrą wolną w klasie algebr podobnych K .
Niech a = (a_{1}, ... ,a_{n}) będzie dowolnym ciągiem jej różnych generatorów.

Udowodnić, że jeśli dla dowolnych funkcji algebraicznych f_{ \alpha } i g_{ \alpha ...

Ten rozdział jest jednym z rozdziałów w paragrafie "Produkt kartezjański przestrzeni metrycznych" a zadania są na końcu każdego takiego paragrafu. To mnie trochę zmyliło.

Udowodnij, że produkt X _{1} \times ... \times X _{k}
z metryką \overline{p} = \sum_{i=1}^{k}p _{i} (x _{i} , y _{i} ) gdzie p _{i} to metryka przestrzeni X _{i} , i = 1,2,...,k
jest przestrzenią zupełną.

Czy to zadanie ma sens? Bo wydaje mi się, że dość łatwo można podać kontrprzykład, że ...