Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin x\sin y=\frac14\\ \cos x\cos y=a\end{cases}}\)

ma rozwiązanie?

Wyznacz wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) przy ktorych w zbiorze rozwiązań nierówności:
\(\displaystyle{ x^2-\pi x+m<0}\) istnieje dokładnie:
a) \(\displaystyle{ 2007}\)
b) \(\displaystyle{ 2008}\)
liczb całkowitych.

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie:
\(\displaystyle{ (4-\sqrt{15})^{x}+(4+\sqrt{15})^{x}=m}\) ma dwa różne rozwiązania?

Rozwiązać układ trzech równań ze zmiennymi \(\displaystyle{ x, y, z}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{yz}{y+z}=a\\ \frac{xz}{x+z}=b\\ \frac{xy}{x+y}=c.\end{cases}}\)

Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku długości \(\displaystyle{ 1}\)obrano punkt \(\displaystyle{ P}\). Odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od wierzchołków trójkąta wynosi \(\displaystyle{ x, y, z}\).Udowodnij, że suma kwadratów tych odległości jest mniejsza od \(\displaystyle{ 2}\).

Dla dodatnich liczb rzeczywistych: \(\displaystyle{ a_{1} , a_{2} , a_{3} ,... , a_{2016}}\) takich , że \(\displaystyle{ a_{1} a_{2} a_{3} ... a_{2016} = 1}\) wykaż : \(\displaystyle{ (2+ a_{1} )(2+ a_{2} )...(2+ a_{2016} ) \geqslant 2^{3024}}\).