Matematyka.pl

Witam, dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=n^{(-1)^{n}}}\). Należy zbadać jego monotoniczność i ograniczoność. Nie wiem, jak się za to zabrać, można obliczać na pewno kolejne wyrazy ciągu, ale czy można to zrobić inaczej?

Janusz Tracz pisze: 28 lis 2021, o 16:26

IceMajor2 pisze: 28 lis 2021, o 16:19 \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^{2}}}\), która ma granicę \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\)?

Jesteś pewien?

Ah, oczywiście miałem na myśli \(\displaystyle{ \infty}\).

Jan Kraszewski pisze: 28 lis 2021, o 16:31

IceMajor2 pisze: 28 lis 2021, o 16:19Poprawnie jest, gdy zastosuje się wzór skróconego mnożenia...

Na pewno dobrze przepisałeś przykład?

JK

Racja - źle. Będzie \(\displaystyle{ \cos x^{2}}\)... już wiem, jak to zrobić.

Witam, dlaczego w tej granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\sin^{2}x}}\) nie mogę zrobić \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}\sin^{2}x}}\). Po skróceniu zostanę z funkcją \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^{2}}}\), która ma granicę \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\)?

Poprawnie jest, gdy zastosuje się wzór skróconego mnożenia...

Witam, dana jest taka granica funkcji: \lim_{x \to\infty } \frac{5^{x+2}-5}{3^{x+1}+2^{x}+1} .
Robię tak:
\lim_{x \to \infty} \frac{5^{x}\left( 25-\frac{5}{5^{x}}\right) }{3^{x}\left( 3+\frac{2^{x}}{3^{x}}+\frac{1}{3^{x}}\right) }= \lim_{x \to\infty }\frac{5^{x}}{3^{x}} \cdot \lim_{ x\to\infty ...

Może jednak nie rozumiem, bo \lim_{ x\to+\infty }\frac{3x^{3}+x+1}{x^{3}+x+1}= \lim_{ x\to+\infty } \frac{3x^{3}}{x^{3}}=3 .

Czyli pomimo tego, że \frac{1}{x^{2}} oraz \frac{1}{x^{3}} były pomnożone przez x^{3} , to mogłem wykonać skrócenie, więc to chyba chodzi jednak o potęgę, a nie o ...

<r><QUOTE author="a4karo" post_id="5636414" time="1638100172" user_id="84628"><s>[quote=a4karo post_id=5636414 time=1638100172 user_id=84628]</s>
<QUOTE author="szw1710" post_id="5636408" time="1638097690" user_id="67418"><s>[quote=szw1710 post_id=5636408 time=1638097690 user_id=67418]</s>
<br ...

Może zmienię kwalifikację na nie powinno się robić .

Funkcje \(f(x)=x-\sqrt{x^2-3x+1}\) oraz \(g(x)=x-|x|\) mają w \(-\infty\) tę samą granicę. Co prawda \(f\ne g\), ale\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}g(x).\) :)



Nie. Nie można.
To, że w tym przypadku dostaniemy ...

<r><QUOTE author="szw1710" post_id="5636402" time="1638096178" user_id="67418"><s>[quote=szw1710 post_id=5636402 time=1638096178 user_id=67418]</s>
Nie trzeba tu żadnego liczenia. Przecież \(x\to-\infty\), a \(\sqrt{x^2-3x+1}\to+\infty\), a więc masz \(-\infty-\infty=-\infty\). Ciekawiej byłoby ...

Witam, dana jest taka granica funkcji: \lim_{ x\to-\infty }\left(x- \sqrt{x^{2}-3x+1}\right) .
Zrobiłem tak:
\lim_{ x\to-\infty }\left( x- \sqrt{x^{2}\left(1- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}} \right) } \right)\\
\lim_{x\to-\infty}\left( x- \sqrt{x^{2}} \right) \\
\lim_{x\to-\infty}\left( x-|x|\right ...

Ta pierwsza jest rosnąca, a ta druga - malejąca. Dlaczego korzysta się z monotoniczności? Nadal nie rozumiem.
Bo uczyli Cię w szkole regułek...

Funkcja f:D \rightarrow \RR jest rosnąca gdy dla dowolnych x,y\in D jeśli x<y , to f(x)<f(y) . Nie jest trudno pokazać, że tak naprawdę dla funkcji ...

\log_{ \frac{1}{2} }\arcsin x > \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\\
D:x\in\left\langle -1;1\right\rangle
A skąd ta dziedzina?


\arcsin x>\frac{1}{2}\\\arcsin x>\sin\frac{1}{2}
Nie wiem, co dalej... wiem, że powinien zmienić się znak z > na < , kiedy usuwamy logarytmy, ale kompletnie nie wiem ...

Jan Kraszewski pisze: 27 lis 2021, o 12:57

IceMajor2 pisze: 27 lis 2021, o 12:28\(\displaystyle{
y \in \left( -\infty; -\frac{\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{\pi}{4}; +\infty \right)}\), bo
Stąd
\(\displaystyle{ \arcsin x>- \frac{\pi}{4} \wedge \arcsin < \frac{\pi}{4}}\)

Serio?

JK

No i wszystko jasne...

Witam, dana jest taka nierówność: \log_{ \frac{1}{2} }\arcsin x > 1 .
Robię zatem:
\log_{ \frac{1}{2} }\arcsin x > \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\\D:x\in\left\langle -1;1\right\rangle\\\arcsin x>\frac{1}{2}\\\arcsin x>\sin\frac{1}{2}
Nie wiem, co dalej... wiem, że powinien zmienić się znak z > na ...

<r><QUOTE author="szw1710" post_id="5636272" time="1637950870" user_id="67418"><s>[quote=szw1710 post_id=5636272 time=1637950870 user_id=67418]</s>
Wskazówka: oznacz \(y=\arcsin x\) i rozwiąż nierówność \(\tg^2 y>1.\) Oczywiście mamy \(-\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}.\) Potem przejdź na arcus ...

Witam, mam taką nierówność \(\displaystyle{ \tg^{2}\left( \arcsin x\right) > 1}\). Nie wiem za bardzo co z tym zrobić.
Udało mi się określić jedynie dziedzinę: \(\displaystyle{ x\in\left\langle -1;0\right) \cup \left( 0; 1\right\rangle}\).
Co dalej?