Matematyka.pl

W pewnym problemie kombinatorycznym udało mi się wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa postaci:

P(X=j) = \sum_{k=1}^{j} (-1)^{j-k} \left( \frac{k}{n} \right)^m {n \choose k} {n-k \choose n-j}

przy czym m oraz n są z góry ustalonymi stałymi, natomiast X przyjmuje wartości ze zbioru \{1,2,...,\min ...

Hej, będzie mi miło jeżeli po zapoznaniu się z materiałem uznacie, że jest on wart "wykopania" (są szanse na wejście na główną). Filmik przedstawia zastosowanie indukcji matematycznej do wyznaczenia wartości sum częściowych pewnego szeregu, co w konsekwencji prowadzi do wyznaczenia sumy tego szeregu ...

Dzięki za odpowiedź Rozumiem o czym piszesz. Zauważ jednak (ok, po napisaniu widzę, że też to zauważyłaś), że aby nastąpiła sytuacja, którą przytaczasz (maksimum lokalne nie jest maksimum globalnym), musi być więcej niż jedno ekstremum lokalne (przy założeniu ciągłości funkcji). W sumie wynika to z ...

Mam małą zagwozdkę - szukam maksimum pewnej funkcji ciągłej na pewnym przedziale domkniętym. Obliczyłem pochodną - ma ona jedno miejsce zerowe wewnątrz przedziału, powiedzmy w punkcie x_0 . Dalej wykazałem, że f''(x_0)<0 i wg mnie to jednoznacznie oznacza, że w tym punkcie mamy maksimum globalne ...

Dokładnie tak

Czy znasz twierdzenie o różniczkowaniu szeregu?

Ok, a prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do tego w zadaniu, czyli prawdopodobieństwo niewystąpienia zdarzenia X przez 30 kolejnych lat?

EDIT
Odpowiadając na Twoje pytanie - zgadza się, należy zastosować schemat Bernoulliego, lecz zdecydowanie łatwiej będzie go użyć nie do obliczenia ...

Najpierw zastanów się nad prawdopodobieństwem zdarzenia przeciwnego.

Hej, ostatnio zastanawiałem się nad wykazaniem poniższej równości:

\sum_{k=0}^n{n+k\choose n}\cdot \frac{1}{2^k}=2^n

Wygląda na to, że ją wykazałem, jednak ciekawi mnie, czy ktoś zna interpretację kombinatoryczną tej równości, ewentualnie dowód krótszy od mojego.

Poniżej mój tok rozumowania ...

Mam takie zadanie, raczej jedno z prostszych, ale niestety jakoś nigdy nie przepadałem za wykazywaniem podzielności ani za liczbami pierwszymi.

Wykazać, że jeżeli n jest potęgą liczby pierwszej p , to {n \choose k} jest podzielne przez p , o ile 1\le k \le n-1 .

Nieco się nad tym zastanawiałem i ...

Zamiast \(\displaystyle{ x=3}\) podstawiłeś \(\displaystyle{ x=6}\).

Na marginesie moim zdaniem zadanie jest niepoprawnie sformułowane, bo co my robimy? Bierzemy \(\displaystyle{ 3}\) losowe gospodarstwa?

Jan Kraszewski pisze:

tomwanderer pisze:Powinno być:
5. \(\displaystyle{ k\neq l \neq m}\)

Powinno być: \(\displaystyle{ k\ne l, l\ne m, m\ne k}\). Różność nie jest przechodnia.

JK

Faktycznie. Dziękuję, będę pamiętał żeby tak nie pisać.

Zadanie jest z tego zbioru ... _zbior.pdf (25str. 2.14) Wiem, że wynik to 18,9145

Ok, czyli wyszło mi za mało o 0,396 . To oznacza, że mam głupi błąd w liczeniu E(S_4) tym miejscu:

Rozdzielamy na przypadki:
1. k=l=m
2. k=l , m\neq k
3. k=m , l \neq k
4. k\neq l \neq m

Powinno być:
1. k=l=m ...

leg14 , dla mnie wygląda na to, że przy takim sposobie, w praktyce bylibyśmy zmuszeni do policzenia "na piechotę" wszystkich wyrażeń P(X=k) dla k=1,2,...,30 . Na przykład dla k=6 otrzymalibyśmy składniki związane z:
1. czterokrotnym wypadnięciem dwójki,
2. trzykrotnym wypadnięciem trójki,
3 ...

Ok, nikt się nie wyrywa, więc przedstawię moje zapiski. Przy okazji fajnie by było, gdyby ktoś zechciał to zweryfikować.

Niech S_i - wartość, którą dodajemy do sumy po i -tym losowaniu. Przykładowo, jeżeli wylosowaliśmy kolejno 2,4,2,7 , to S_1=2 , S_2=4 , S_3=0 (skoro dwójka się powtórzyła) oraz S ...