Ekstremum globalne - końce przedziału

[tomwanderer]

Mam małą zagwozdkę - szukam maksimum pewnej funkcji ciągłej na pewnym przedziale domkniętym. Obliczyłem pochodną - ma ona jedno miejsce zerowe wewnątrz przedziału, powiedzmy w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\). Dalej wykazałem, że \(\displaystyle{ f''(x_0)<0}\) i wg mnie to jednoznacznie oznacza, że w tym punkcie mamy maksimum globalne. Promotor natomiast napisał mi komentarz w mojej pracy, że mam jeszcze sprawdzić końce przedziału... Wydaje mi się, że to przez pośpiech czy niedopatrzenie. Proszę, niech ktoś zweryfikuje mój tok myślenia, bo ta uwaga mnie zupełnie zdezorientowała.

[Gamma]

W ogólności schemat szukania ekstremów funkcji na zadanym przedziale jest taki:
1. Szukamy ekstremów w standardowy sposób i wybieramy tylko te punkty, które należą do naszego przedziału.
2. Sprawdzamy wartości funkcji na końcach przedziału.
3. Porównujemy otrzymane wartości funkcji i wybieramy minimum/maximum.

Chodzi o to że w ogólności może być tak, że funkcja na tym przedziale ma np. maksimum lokalne, ale nasz przedział może ją "uciąć" na jakimś fragmencie gdzie nie ma ona ekstremum, ale mimo to przyjmuje większą wartość niż w tym znalezionym. Np. funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^3-x^2}\) na przedziale \(\displaystyle{ [-1,2]}\). Ma maksimum lokalne w \(\displaystyle{ x=0}\) ale \(\displaystyle{ f(2)>f(0)}\).

Zastanawiam się tylko czy jest możliwa taka sytuacja, że znaleźliśmy jeden punkt w którym zeruje się pochodna wewnątrz interesującego nas przedziału (nie interesują nas punkty przegięcia), powiedzmy że jest tam maksimum. To czy teraz jest w ogóle możliwość żeby na końcach przedziału funkcja przyjęła większą wartość? Skoro nie mamy żadnego punktu, w którym ta funkcja mogłaby się zmienić z malejącej na rosnąca? Wydaje mi się, że przy założeniu ciągłości tak być nie może.

[tomwanderer]

Dzięki za odpowiedź Rozumiem o czym piszesz. Zauważ jednak (ok, po napisaniu widzę, że też to zauważyłaś), że aby nastąpiła sytuacja, którą przytaczasz (maksimum lokalne nie jest maksimum globalnym), musi być więcej niż jedno ekstremum lokalne (przy założeniu ciągłości funkcji). W sumie wynika to z tego, że jeżeli w \(\displaystyle{ x_0}\) mamy np. maksimum lokalne, a w \(\displaystyle{ x_0+\delta}\) maksimum globalne, to z własności Darboux dla pewnego \(\displaystyle{ 0<\epsilon<\delta}\) mamy \(\displaystyle{ f(x_0+\epsilon)=f(x_0)}\) i teraz na przedziale \(\displaystyle{ [x_0,x_0+\epsilon]}\) musi istnieć ekstremum różne od \(\displaystyle{ f(x_0)}\) (funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga ekstrema). Natomiast ja go nie wykrywam (nie ma więcej miejsc zerowych pochodnej), więc moje ekstremum lokalne zdaje się być globalnym.

Chyba wygląda na to, że z Twoją pomocą sam odpowiedziałem sobie na moje pytanie.

Niby żaden problem sprawdzić krańce przedziału, tylko że w jednym z nich moja funkcja przyjmuje wartość 0, a uzasadnienie że \(\displaystyle{ f(x_0)>0}\) to grubszy dowód, który przeprowadzam nieco dalej i wolałbym aby właśnie tam pozostał. No ewentualnie mogę się na niego powołać, nieco uprzedzając fakty.

[a4karo]

Oczywiście to co zrobiłeś wystarcza do stwierdzenia, że funkcja na tam maksimum lokalne (prosty argument polega na zbadaniu znaku pochodnej na prawo i na lewo od punktu krytycznego. Pytanie istotne : czy warto kłócić się z promotorem? Ale na to musisz sam znaleźć odpowiedź.