Matematyka.pl

Wzór na sinusa, że tak to ujmę "leci dalej" z tą naprzemienną sumą nieparzystych potęg. Podejrzewam, że tutaj sednem sprawy jest to, że kończymy na potędze o dodatnim współczynniku, ale jak to uzasadnić konkretnie?

Tą funkcja dla \(\displaystyle{ n}\)-nieparzystych nie będzie monotoniczna.

Wykorzystując wzór Taylora z resztą Lagrange'a uzasadnić poniższą nierówność:

\(\displaystyle{ \sin x<x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)

Jakieś wskazówki?

Uzasadniając monotoniczność odpowiedniej funkcji wykazać, że zachodzi poniższa nierówność:

\(\displaystyle{ \left(1-x^2\right)^n>1-nx^2}\) dla \(\displaystyle{ 0\leq x\leq 1}\)

Jakieś pomysły?

Ogólnie to \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)

To teraz już jasne wszystko, dziękuję za pomoc.

Już mam:

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{3\left(1-x\right)\left(1+x\right)^3}\leq\frac{3-3x+3+3x}{4}=\frac{3}{2}\\3\left(1-x\right)\left(1+x\right)^3\leq\frac{3^4}{16}\\ \left(1-x\right)\left(1+x\right)^3\leq\frac{27}{16}}\)

Niemniej jednak nie mam pojęcia co liczba \(\displaystyle{ 27}\) miałaby mi zasugerować.

To wiem, tylko nie bardzo wiem co dalej. Nie wiem z ilu składników robić te średnie.

Witam, mam do udowodnienia poniższą nierówność przy wykorzystaniu nierówności pomiędzy średnimi:

\(\displaystyle{ \left(1-x^2\right)\left(1+x\right)^2\leq\frac{27}{16}}\)

Jakieś wskazówki?

Hmm, a coś więcej na jego temat...?

Dzień dobry, mam pytanie czy Ktoś z Was spotkał się z poniższym wzorem kiedykolwiek:

\(\displaystyle{ \sin \left(k°\right)=\frac{\sqrt[90]{\left(\sqrt{-1}\right)^k}-\sqrt[90]{-\left(\sqrt{-1}\right)^k}}{2\sqrt{-1}}\ \ , \ \ k\in\mathbb{Z}}\)

?

Niech \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}_+ \ , \ x\neq k\pi \ , \ k\in\mathbb{Z}}\)

Wykaż, że zachodzi następującą równość:

\(\displaystyle{ \sin x+\sin 3x+\cdots + \sin \left(2n-1\right)x=\frac{1-\cos 2nx}{2\sin x}}\)

Jakieś pomysły?

Faktycznie pospieszyłem się myśląc, że rozumiem już ten drugi podpunkt. W takim razie pytanie pozostaje otwarte.

O to mi właśnie chodziło, dziękuję!

Przepraszam za pomyłkę, ale pomyliłem się podczas przepisywania zadania. Zbiór z którego losujemy nie zawiera szóstki, tj. jest on postaci \(\displaystyle{ \{0,1,2,3,4,5\}}\). Najbardziej mnie interesuje podpunkt b.) z tego zadania. Pozdrawiam serdecznie i jeszcze raz przepraszam za pomyłkę i zamieszanie.