Matematyka.pl

Żeby dało się zapisać w w postaci dziesiętnej skończonej, mianownik musi być postaci: n^2+7n=n(n+7)=2^k\cdot 5^l \ \ \ k,\ l\in \mathbb{N} Zatem: n=2^p\cdot 5^q n+7=2^r\cdot 5^s 1) Jeśli ani p, ani q nie jest równe 0, to n jest podzielne przez 2 i 5, czyli n+7 nie jest podzielne ani przez 2, ani prz...

y musi być mniejszy od 3, bo inaczej \(\displaystyle{ 2^x+3^y>27}\). Podstawiasz bezpośrednio 0, 1, 2 za y i patrzysz, czy jest jakiś x spełniający wtedy obydwa równania...

Niech P to środek cięzkości trójkąta ABC. Niech A'B'C' będzie obrazem ABC w jednokładności o środku w P i skali -2. Wtedy A leży na B'C', B leży na C'A', a C leży na A'B' (bo środkowe przecinają się w stosunku 2:1, więc nasza jednokładność wyrzuciła środki boków ABC na wierzchołki A, B i C). Z własn...

Skorzystaj dwukrotnie z nierówności trójkąta.

1)
\(\displaystyle{ (1-cos^2x)^2+cos^4x=2(2cos^2x-1)^2-1 \\ \Rightleftarrow 1-cos^2x+cos^4x=4cos^4x-4cos^2x+1 \\ \Rightleftarrow 3cos^2x=3cos^4x \\ \Rightleftarrow cos^2x(1-cosx)(1+cosx)=0}\)


2)
\(\displaystyle{ y=\frac{x}{3} \ t=cos^2y \\ 1-2cos^2+2cos^4x=\frac{5}{8} \\ \Rightleftarrow 2t^2-2t+\frac{3}{8}=0}\)

Oznaczmy przez O_o środek danego okręgu, O_1 środek okręgu doń stycznego, r_1 promień tegoż okręgu, A -wierzchołek kąta. Mamy: \frac{r}{AO_0}=sin\frac{\alpha }{2} \\ AO_0=\frac{r}{sin\alpha }{2}} \\ AO_1=\frac{r}{sin\frac{\alpha }{2}}-r-r_1 \\ r_1=(\frac{r}{sin\alpha }{2}-r-r_1)sin\frac{\alpha }{2} ...

Racja, już pozamieniałam, dzięki za przypomnienie:D

LaTeX

Z tw. o pochodnej funkcji złożonej.
\(\displaystyle{ (e^{arctgx})'=e^{arctgx}\cdot \frac{1}{1+x^2}}\)
\(\displaystyle{ (e^{arccosx})'=e^{arccosx}\cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}}\)

w=\frac{1}{2} +\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}+...+\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2} \\ = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}(e^{ix}(1+e^{ix}+e^{2ix}+...+e^{i(n-1)x}) + e^{-ix}(1+e^{-ix}+e^{-2ix}+...+e^{-i(n-1)x})) \\ = \frac{1}{2} +\frac{1}{2}(e^{ix}\cdot \frac{e^{inx}-1}{e^{ix}-1}+e^{-ix}\cdot \...

Oznaczmy: \angle ADB =\beta \ \angle BDC=\alpha \ AD=c Szukamy tangensa największego możliwego kąta \alpha , czyli maksimum funkcji tg\alpha (bo \alpha < \frac{\pi }{2} , czyli kąt maksymalny jest dla maksymalnej wartości tangensa). Mamy: tg\beta =\frac{a}{c} \\ tg(\alpha +\beta )=\frac{a+b}{c} Korz...

Jeśli nasz czworościan to ABCD, wystarczy rozpatrzeć sumę objętości czworościanów ABCP, BCDP, CDAP i DABP równą 1/3 pola ściany razy suma odległości punktu P od ścian, a z drugiej strony objętości ABCD.

No właśnie, nie widziałam jeszcze osoby, która by dostała 6 punktów za drugą geometrię... Popytam jeszcze w szkole, ale coś tu jest nie tak. Nie wiecie może, za co mogli obcinać ten punkcik?

\(\displaystyle{ log_{y}x+log_{x}y=\frac{10}{3}}\)
\(\displaystyle{ log_{y}x+\frac{1}{log_{y}x}=\frac{10}{3}}\)
\(\displaystyle{ log_{y}x=a}\)
\(\displaystyle{ a^2-\frac{10a}{3}+1=0}\)