Matematyka.pl

Odpowiedzi: 1. 96\sqrt{3} . 2. p=-4 . 3. p=0 lub p=2 . 4. \frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2} 5. p=-2 . 6. 753 . 7. x=187 . 8. Wychodziłem od (x-y)^2>=0 , a później założenia i teza. 9. Dowodziłem, że MS=MA oraz NS=NB=DM . 10. a \in (-1, \frac{5}{2} ) . 11. x \in ( \frac{1}{6} \pi , \frac{11}{6} \pi ) z w...

Będziemy dowodzili, że punkt leżący na symetralnej AJ i na prostej BC leży na tej stycznej. Najpierw lemat : Oznaczenia jak w zadaniu i niech \omega_{1} będzie okręgiem o środku w A i promieniu \sqrt{AB \cdot AC} . Niech P i Q to przecięcia \omega_{1} i l , gdzie l - symetralna AJ . Wtedy IA=IP=IQ ...

1. można policzyć jakoś po kolei (ja tak zrobiłem), tzn. zliczałem ile jest liczb \le 2016 , takich, że wykładnik przy potędze piątki jest równy odpowiednio 4 , 3 , 2 i 1 no i później się to sumuje. (patrzyłem na potęgę piątki bo wykładnik przy piątce na pewno jest mniejszy od wykładniku przy dwójc...

Moje odpowiedzi : 1. 502 2. x \in (0; \frac{2}{5}) \cup (2; + \infty ) 3. Granice w -3 i 4 nie istniały ( bo jednostronne się różniły ). 4. 6 pracowników i 5 dni. 5. \frac{ \sqrt{5} -1 }{4} 6. M - punkt styczności obu okręgów, więc wychodzą nam 3 styczne : y_{1} = - \frac{4}{3}x +17; y_{2} = \frac{3...

Daj jakiegoś hinta czy coś, bo zadanie trochę już stoi, a II etap się zbliża (miejmy nadzieję, że takich hardkorów nie będzie).

Niech E - punkt styczności \omega z AC , F - \omega z AB i niech M = AD \cap \omega , P = KE \cap FL , Q = FE \cap BC . Skoro proste AM , BK i CL tną się w jednym punkcie E to z lematu Steinbarta mamy że proste DM , EK , FL się tną w jednym punkcie, czyli że punkty A , P i D są współliniowe. Czyli ...

Niech o - okrąg styczny wewnętrznie do opisanego na ABC i do prostych AB , AC , P - punkt styczności okręgu dopisanego naprzeciwko A z bokiem BC . Zróbmy inwersję w A o promieniu \sqrt{AB*AC} . Niech K' - punkt styczności okręgu o z opisanym, a K* - jego obraz w naszej inwersji. Znanym jest fakt że...

Htorb, wrzuciłbyś rozwiązanie poprzedniego ?

To zadanie pomógł mi kminić i spisać nie kto inny a wtz . Otósh, niech prosta DX przecina okrąg opisany na ABC w punkcie N . Zauważmy, że z symetrii i znanego faktu wynika, że DX jest prostą łączącą wierzchołek z punktem styczności okręgu dopisanego w trójkącie XCB - jest więc ona nagelianą. Czyli ...

Wrzućcie zadanka :p

Niech l_{E} \cap l_{F} = A_{1} . Analogicznie definiujemy punkty B_{1} , C_{1} , D_{1} . Po szybkim przeliczeniu na kątach wychodzi, że czworokąt EFGH jest cykliczny. Udowodnimy że środek okręgu opisanego na tym czworokącie jest środkiem okręgu wpisanego w czworokąt A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} . Oznaczmy ...

Niech O będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC Oczywiście proste LE i DM przecinają się w O . Wiadomo, że czworokąt ALOM jest cykliczny, więc wystarczy dowieść, że np. punkty L , F , O i M leżą na 1 okręgu. Z prostego przeliczenia kątów mamy że czworokąt CFOB jest cykliczny, czyli \angle...