Matematyka.pl

1. \(\displaystyle{ e^x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \ldots, \quad x \in \RR}\)
2. \(\displaystyle{ \sin x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n }{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \ldots, \quad x \in \RR}\)
3. \(\displaystyle{ \cos x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \ldots, \quad x \in \RR}\)
4. \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x} = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots, \quad |x| < 1}\)
5. \(\displaystyle{ \ln (1+x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \ldots, \quad x \in (-1, 1]}\)
6. \(\displaystyle{ (1 + x)^\alpha = \sum_{n = 0}^{+\infty} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots , \quad |x| < 1, \; \alpha \in \CC}\)
7. \(\displaystyle{ \arctan x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots , \quad |x| \le 1}\) 8. \(\displaystyle{ \arcsin x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \binom{-\frac{1}{2} }{n} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x + \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 + \ldots, \quad |x| \le 1}\)
9. \(\displaystyle{ \frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{B_n}{n!} x^n = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} - \frac{x^4}{720} + \frac{x^6}{30240} + \ldots, \quad x \in \RR}\)
10. \(\displaystyle{ \frac{\ln (1-x)}{x-1} = \sum_{n = 1}^{+\infty} H_n x^n = x + \frac{3}{2} x^2 + \frac{11}{6} x^3 + \frac{25}{12} x^4 + \ldots, \quad |x| < 1}\)
11. \(\displaystyle{ e^x \sin x = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{\frac{n}{2}} \sin \frac{\pi n}{4} }{n!} x^n = x + x^2 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} - \ldots ,\quad x \in \RR}\)
Dodatek
Najczęściej wykorzystywane metody przy rozwijaniu funkcji w szereg Maclaurina (jak również Taylora), to:

* Mając dane rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\), aby wyznaczyć rozwinięcie \(\displaystyle{ f(x^2)}\) (lub podobnej) wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x \to x^2}\). I tak np.:
* Czasem łatwiej jest wyznaczyć rozwinięcie pochodnej lub całki z danej funkcji. Np. Mając rozwinięcie funkcji kosinus wystarczy skorzystać z tego, iż \(\displaystyle{ (\cos x)' = - \sin x}\) by otrzymać rozwinięcie funkcji sinus.

* Jeżeli funkcja jest iloczynem kilku bardziej podstawowych funkcji, których rozwinięcie jest znane, można skorzystać z iloczynu Cauchy'ego szeregów by otrzymać szukane rozwinięcie - patrz przykład 10.