Co robić gdy hesjan jest równy zero ?
Często się zdarza, że dana osoba nie wie co zrobić, gdy hesjan ( czyli, przy ekstremum funkcji dwóch zmiennych, wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) złożonej z pochodnych cząstkowych 2 rzędu funkcji ) jest równy zero. Sam schemat szukania ekstremum znajdziecie tutaj:
42663.htm
W tym krótkim poradniku pokaże jak z definicji pokazać, że nie mamy w danym punkcie ekstremum.
Przykład:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x ^{4}-y ^{4}}\)\(\displaystyle{ f' _{x}= 4 \cdot x ^{3}}\)
\(\displaystyle{ f' _{y}= -4 \cdot y ^{3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} f' _{x}=0 \\ f' _{y}=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4 \cdot x ^{3} =0 \\ - 4 \cdot y ^{3} =0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}}\)
Punkt podejrzany o bycie ekstremum :\(\displaystyle{ P=(0,0)}\)
Hesjan ( w tym punkcie ) wynosi \(\displaystyle{ 0}\) (obliczenia pomijam już ). Zatem będzie trzeba badać prosto z definicji.
Będziemy badać otoczenie punktu \(\displaystyle{ P}\) .
Weźmy takie dwa ciągi wyrazów : \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{n})}\) oraz \(\displaystyle{ ( \frac{1}{n} ,0)}\) ( \(\displaystyle{ n \in N}\) ). Im większe jest \(\displaystyle{ n}\) tym bliżej jesteśmy punktu \(\displaystyle{ P}\)
Wstawiamy do funkcji nasz ciąg:
\(\displaystyle{ f(0, \frac{1}{n})= 0 ^{4}- \frac{1}{n ^{4} }= - \frac{1}{n ^{4} } <0=f(0,0)}\)
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{n} , 0 )= \frac{1}{n ^{4} } - 0 ^{4} = \frac{1}{n ^{4} } >0=f(0,0)}\)
Zatem raz mamy większą wartość od tej przyjmowanej w \(\displaystyle{ P}\), a raz mniejszą. No i dzięki tej wiedzy wiemy, że w tym punkcie ekstremum nie ma.
Zawsze tak dobieramy te ciągi, żeby wyszły liczby większemniejsze od wartości funkcji w punkcie podejrzanym
Pomijam wszelkie definicje. Skupiłem się tutaj na praktycznym sposobie weryfikowania czy dany punkt jest ekstremum. Definicje można znaleźć w pierwszej lepszej książce od analizy (np Fichtenholz)
I taka rada na przyszłość
Nie bierzmy się za liczenie takich rzeczy jeśli nie umiemy liczyć pochodnych.
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW. Dziękuję za uwagę i mam nadzieję, że starczy mi sił, żeby robić kolejne poradniki