Matematyka.pl

rozwiąż równanie: y' + \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\)= \(\displaystyle{ \frac{1}{x^3y^3}}\)

Wieć tak stwierdzam ze to jest rownanie Bernoulliego i rozwiazuje nasteępującym sposobem:
y' + \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\)= \(\displaystyle{ \frac{1}{x^3y^3}}\) /* \(\displaystyle{ y^3}\)
z=\(\displaystyle{ y^(1-(-3))}\)= \(\displaystyle{ y^4}\)
z'=4\(\displaystyle{ y^3}\)*y'
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) z= \(\displaystyle{ y^3}\)*y'

y'*\(\displaystyle{ y^3}\)* + \(\displaystyle{ \frac{y^4}{x}}\)= \(\displaystyle{ \frac{1}{x^3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)z'+ \(\displaystyle{ \frac{z}{x}}\)= \(\displaystyle{ \frac{1}{x^3}}\)

1. CORN
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)z'+ \(\displaystyle{ \frac{z}{x}}\)= 0
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)z' = - \(\displaystyle{ \frac{z}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)\(\displaystyle{ \frac{dz}{dx}}\)= - \(\displaystyle{ \frac{z}{x}}\) /* \(\displaystyle{ \frac{dx}{z}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) dz= - \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\)dx
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)\(\displaystyle{ \int \frac{1}{z}}\) dz= - \(\displaystyle{ \int \frac{1}{x}}\)dx
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)ln \(\displaystyle{ \left|z \right|}\) = - ln \(\displaystyle{ \left|x \right|}\) + \(\displaystyle{ c_{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)ln \(\displaystyle{ \left|z \right|}\) = - ln \(\displaystyle{ \left|x \right|}\) + ln \(\displaystyle{ \left|c_{2}\right|}\)
gdzie \(\displaystyle{ c_{1}}\) = ln \(\displaystyle{ \left|c_{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)ln \(\displaystyle{ \left|z \right|}\) = ln \(\displaystyle{ \frac{c_{2}}{ \left|x \right|}}\)
\(\displaystyle{ \left|z^ \frac{1}{4} \right|}\) = \(\displaystyle{ \frac{c_{2}}{ \left|x \right|}}\)
\(\displaystyle{ z^ \frac{1}{4}}\) = \(\displaystyle{ \frac{c_{3}}{x}}\) gdzie \(\displaystyle{ c_{3}}\) = \(\displaystyle{ \pm c_{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{z}}\)= \(\displaystyle{ \frac{c_{3}}{x}}\) \(\displaystyle{ /^{4}}\)
z= \(\displaystyle{ \frac{c}{x^4}}\) gdzie c= \(\displaystyle{ c_{3}^4}\)

2. CSRN
z= \(\displaystyle{ \frac{c(x)}{x^4}}\)
z'= c'(x)* \(\displaystyle{ x^(-4)}\) + c(x)* -4 * \(\displaystyle{ x^(-5)}\)
\(\displaystyle{ \frac{c(x)}{x^4}}\) + \(\displaystyle{ \frac{x^(-4)$ + c(x)* -4 * x^(-5)}{x}}\)= \(\displaystyle{ \frac{1}{x^3}}\)

jak to poskracac? i wogole czy dobrze to robie?

Dobrze robisz (tylko niepotrzebnie tak sobie mieszasz szukając CORN - wystarczy od razu pomnożyć przez 4), ale pomyliłaś się na koniec podstawiając do równania. Ponieważ wyjściowe równanie ma postać

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}z'+ \frac{z}{x}= \frac{1}{x^3}}\)

to po podstawieniu masz

\(\displaystyle{ \frac{c'(x)}{4x^4} - \frac{c(x)}{x^5}+ \frac{c(x)}{x^5}= \frac{1}{x^3}}\)

a to się już ładnie redukuje i łatwo znaleźć stąd c.

Pozdrawiam.

Dzieki!;D