Matematyka.pl

Witam mam za zadanie znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego wykorzystując trans. Lap.

Może ktoś sprawdzić?

\(\displaystyle{ y''-y'=1-e ^{-2t}}\)

\(\displaystyle{ y(0)=y'(0)=0}\)

\(\displaystyle{ L[y']= \frac{1}{s}}\)
\(\displaystyle{ L[y'']=1}\)

\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{s}=1-e ^{-2t}}\)
WYNIK: \(\displaystyle{ y=e ^{-2t}-1}\)

Dobrze?

I jeszcze takie pytanie ile wynosi transformacja odwrotna Laplace'a z 1 (czy może nie ma czegoś takiego)?

hmmmmmmmmmm, chyba musisz poczytać cokolwiek o transformacie Laplace'a.

Podstawiając Twoje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (e^{-2t}-1)''-(e^{-2t}-1)'=4e^{-2t}+2e^{-2t}=6e^{-2t} \neq 1-e^{-2t}}\)

To równanie rozwiązujemy:

\(\displaystyle{ {\cal L} \lbrace y''-y' \rbrace={\cal L} \lbrace 1- e^{-2t} \rbrace \\
{\cal L} \lbrace y''\rbrace - {\cal L} \lbrace y'\rbrace={\cal L} \lbrace 1\rbrace -{\cal L} \lbrace e^{-2t} \rbrace \\
s^{2}Y(s)-sy(0^{+})-y'(0^{+})-(sY(s)-y(0^{+}))= \frac{1}{s}- \frac{1}{s-(-2)} \\
s^{2}Y(s)-0-0-sY(s)+0= \frac{2}{s(s+2)}\\
Y(s)= \frac{2}{s^{2}(s+1)(s+2)}}\)

rozkładając na ułamki proste mamy:

\(\displaystyle{ Y(s)= -\frac{3}{2} \frac{1}{s}+ \frac{1}{s^{2}}+ 2\frac{1}{s+1}- \frac{1}{2} \frac{1}{s+2} \\}\)

i stąd nasze rozwiązanie ma postać:
\(\displaystyle{ y(t)=- \frac{1}{2} e^{-2t} +2 e^{-t}+t- \frac{3}{2}}\)

Dobra wiem co źle zrobiłem ale u Ciebie chyba źle jest \(\displaystyle{ Y(s)}\)
W szóstej linii od dołu wyciągasz \(\displaystyle{ Y(s)}\) przed nawias i dzielisz obie strony przez \(\displaystyle{ s ^{2}-s}\)
otrzymujesz wtedy \(\displaystyle{ Y(s)= \frac{2}{s(s+2)(s^{2}-s)}}\)
Rozkład na ułamki: \(\displaystyle{ Y(s)= \frac{2}{s(s+2)(s^{2}-s)} = \frac{-1}{s^{2}}- \frac{1}{2s}- \frac{1}{6 (s+2)}+ \frac{2}{3 (s-1)}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ y(t)=-y- \frac{1}{2} - \frac{1}{6} e ^{-2t} + \frac{2}{3}e ^{t}}\)

(przekształcenia \(\displaystyle{ L^{-1}}\) nie jestem pewny...)

Faktycznie zagubił się minusik... rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ y(t)=- \frac{1}{6}e ^{-2t}+ \frac{2}{3}e^{t}-t- \frac{1}{2}}\)