Matematyka.pl

Naczynie w kształcie odwróconego stożka (pionowa oś obrotu, wierzchołek na dole) napełniono wodą. W wierzchołku stożka jest dziura, przez którą wycieka woda. Po jakim czasie wycieknie woda z pełnego naczynia, jeśli wiadomo, że z naczynia wypełnionego do \(\displaystyle{ 1/4}\) woda wycieknie po minucie? Zakładamy, że prędkość wypływu wody jest wprost proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z głębokości, na jakiej znajduje się dziura w danym momencie, co po oznaczeniu przez \(\displaystyle{ h(t)}\)głębokości wody w chwili \(\displaystyle{ t}\) oraz \(\displaystyle{ V(t)=b(h(t))^3}\) objętości pozostałej wody prowadzi do równania \(\displaystyle{ V'=-a \sqrt{h}}\), dla pewnych stałych dodatnich a, b.

\(\displaystyle{ V'=3b(h'(t))^2}\)
\(\displaystyle{ 3b(h'(t))^2=-a \sqrt{h}}\)
\(\displaystyle{ h'(t)(h(t))^ \frac{-1}{4} =(-a/3b)^ \frac{1}{2}}\)
Po scałkowaniu obu stron i wyliczeniu \(\displaystyle{ h(t)}\) mamy:
\(\displaystyle{ h(t)= \frac{3}{4}( \frac{-a}{3b})^ \frac{1}{2}t+ \frac{3}{4}C}\)
Czy wszystko jest dobrze obliczone? Jak wyliczyć czas potrzebny do wycieknięcia wszystkiej wody?
Z góry dziękuję za odpowiedź.

Ja tam widzę błąd już w pierwszej linijce rozwiązania, nie tak różniczkuje się złożenie funkcji (chyba że wykonałaś jakieś podstawienie, o którym słowem nie wspomniałaś, ale chyba nie). W jaki sposób z \(\displaystyle{ V(t)=b(h(t))^{3}}\) ma wynikać \(\displaystyle{ V'(t)=3b(h'(t))^{2}}\)? Raczej powinno być po prawej \(\displaystyle{ 3bh'(t)(h(t))^{2}}\).

Rzeczywiście. Masz rację. Dziękuję.

\(\displaystyle{ 3bh'(t)(h(t))^{2}=-a \sqrt{h}}\)
\(\displaystyle{ h^\frac{-1}{2}h^2h'= \frac{-3a}{b}}\)
\(\displaystyle{ h ^\frac{3}{2}h' = \frac{-3a}{b}}\)
Po scałkowaniu obu stron otrzymuje:
\(\displaystyle{ \frac{2}{5}h^ \frac{5}{2}= \frac{-3a}{b}t+C}\)
\(\displaystyle{ h^ \frac{5}{2}= \frac{5}{2}(\frac{-3a}{b}t+C)}\)
\(\displaystyle{ h=(\frac{5}{2}(\frac{-3a}{b}t+C))^ \frac{2}{5}}\)

Po uwzględnieniu warunków początkowych\(\displaystyle{ h(0)=1, h(1)= \frac{1}{4}}\) wychodzi że woda wycieknie z naczynia po 10 minutach.-- 17 wrz 2015, o 09:22 --Jeszcze mam pytanie do tego zadania:
Beczkę w kształcie walca napełniono wodą. W dnie beczki jest dziura, przez którą wycieka woda, przy czym cała woda wycieknie z beczki po godzinie. Jaka część beczki będzie wypełniona po 30 minutach? Wiadomo, że prędkość wypływu wody jest wprost proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z głębokości, na jakiej w danym momencie znajduje się dziura, co po oznaczeniu głębokości jako h(t) w chwili t prowadzi do równania \(\displaystyle{ h'=-k \sqrt{h}}\) dla pewnej stałej k.

Czy warunkami początkowymi do zadania będą:
\(\displaystyle{ h(0)=1,h(1)=0}\)?

W drugiej linijce masz błąd rachunkowy. Z równości \(\displaystyle{ 3bh'(t)(h(t))^{2}=-a \sqrt{h}}\) wynika
\(\displaystyle{ h^\frac{-1}{2}h^2h'= \frac{-a}{3b}}\), a nie to, co napisałaś.


Co do drugiego pytania, to jako że równanie jest pierwszego stopnia, wystarczy warunek \(\displaystyle{ h(1)=0}\) (\(\displaystyle{ 1}\) tj. czas liczymy w godzinach). No i na koniec, jak znajdziesz postać \(\displaystyle{ h(t)}\), to obliczasz iloraz \(\displaystyle{ \frac{h( \frac{1}{2} )}{h(0)}}\).-- 17 wrz 2015, o 10:13 --Aczkolwiek tak teraz patrzę, że można zrobić też tak, jak piszesz, tj. z dwoma warunkami, i wtedy wyliczymy z tego od razu \(\displaystyle{ k}\), no i od razu otrzymujemy jawny wzór na \(\displaystyle{ h(t)}\), wstawiamy
\(\displaystyle{ t= \frac{1}{2}}\) i voila. Tak też można.

Ok. Dziękuje

nie rozumiem czemu \(\displaystyle{ h(1)= \frac{1}{4}}\) bo to by znaczyło, że po minucie głębokość wody jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) a w zadaniu jest napisane, że woda wycieka po minucie z naczynia wypełnionego do jednej czwartej wysokości.

Odgrzebię stary temat i podbije pytanie matematix'a