Matematyka.pl

Witam,

nie mogę sobie poradzić z rozwiązaniem następującego układu:


\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dx}{dt} =-x+ 2x^{3}y^{2} \\ \frac{dy}{dt}=-y \end{cases}}\)

Wiem, że najpierw z drugiego równania można wyliczyć y i podstawić to do równania 1. Następnie postepuję tak jak przy rozwiązywaniu równania Bermouliego ale mam problem ze stałymi, gdyż powstaje mi ich za dużo i się motam...
Będę wdzięczna za pomoc

\(\displaystyle{ y=e^{-t}C_{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=-x+2x^{3}(e^{-t}C_{1})^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=-x+2x^{3}e^-{2t}C^{2}_{1}}\)
\(\displaystyle{ x'-x=2e^{-2t}C^{2}_{1}x^{3}}\) - r.niejednorodne
\(\displaystyle{ x'-x=0}\) - r.jednor
robimy podstawienie:
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ z'=-2 \frac{1}{x^3}}x'}\) i tu juz moje pytanie:od jakiej zmiennej zależy z? będzie \(\displaystyle{ \frac{dz}{dx}}\)czy \(\displaystyle{ \frac{dz}{dt}}\) ?

dziękuję, ale to swoją drogą, bo to błąd w rachunkach Chodzi mi o rozwiązanie przykładu...

Próbuję rozwiązywać dalej i robię to w ten sposób (nie wiem czy poprawnie):
\(\displaystyle{ z' = -2 \frac{1}{ x^{3} } x' \\
\frac{x'}{x^{3}} = - \frac{z'}{2}}\)
Dzielę początkowe równanie przez \(\displaystyle{ x^{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x'}{ x^{3} } + \frac{1}{ x^{2} } = 2 e^{-2t} (C_{1})^{2}}\)
Podstawiam:
\(\displaystyle{ - \frac{z'}{2} + z = 2 e^{-2t} (C_{1})^{2} \\
-z' + 2z = 4 e^{-2t} (C_{1})^{2} \rightarrow RN \\
z' = 2z \rightarrow RJ \\
\frac{1}{2} ln \left| 2z \right|= t + C_{2} \\
z = e^{2t}C_{2}\\
x = \frac{1}{ e^{t} \sqrt{C_{2}} } \rightarrow RORJ}\)
Metoda uzmienniania stałej:
\(\displaystyle{ z = e^{2t}C_{2}(t)\\
z' = 2e^{2t}C_{2}(t) + e^{2t}C_{2}'(t)}\)
Podstawiam:
\(\displaystyle{ 2e^{2t}C_{2}(t) + e^{2t}C_{2}'(t) -2e^{2t}C_{2}(t)=-4 e^{-2t} (C_{1})^{2} \\
C_{2}' = -4 (C_{1})^{2} e^{-4t}\\
C_{2} = (C_{1})^{2}e^{-4t} \\
z = e^{2t} (C_{1})^{2} e^{-4t} = (C_{1})^{2} e^{-2t} \\
x = \frac{ e^{t}}{C_{1}} \rightarrow RSRN}\)
\(\displaystyle{ x = RORJ + RSRN}\)