Cześć, proszę o pomoc w rozwiązaniu układu równania rózniczkowego stosując transformację Laplace'a przy warunkach początkowych: \(\displaystyle{ y(0)=1, z(0)=1}\)
\(\displaystyle{ y'+5y+2z=0, \\
z'-y+7z=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} L(y')+5L(y)+2L(z)=L(0) \\ L(z')-L(y)+7L(z)=L(0) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} L[y']=sL(y)-y(0)=sL(y)-1 \\ L[z']=sL(z)-z(0)=sL(z)-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} sL(y)-1+5L(y)+2L(z)=0 \\ sL(z)-1-L(y)+7L(z)=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (s+5)L(y)+2L(z)=1 \\ -L(y)+(s+7)L(z)=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ W=}\)\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} (s+5)&2\\-1&(s+7)\end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ =s ^{2}+12s+37}\)
\(\displaystyle{ W_{L(y)} =}\)\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&2\\1&(s+7)\end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ =s+5}\)
\(\displaystyle{ W_{L(z)} =}\)\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} (s+5)&1\\-1&1\end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ =s+6}\)
\(\displaystyle{ L(y)= \frac{s+5}{s ^{2}+12s+37}}\)
\(\displaystyle{ L(z)= \frac{s+6}{s ^{2}+12s+37}}\)
Z tablic nic mi nie wychodzi, a z odpowiedzi wynika, że powinien wyjść następujący wynik:
\(\displaystyle{ y=e ^{-6t}\cos t \\
z=e ^{-6t}(\cos t-\sin t)}\)
Będę bardzo wdzięczny za wszelką pomoc i odpowiednie nakierowanie na wyższe odpowiedzi!
Transformata Laplace'a
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żuromin
Transformata Laplace'a
Ostatnio zmieniony 18 cze 2018, o 23:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Transformata Laplace'a
Chyba zamieniłeś odpowiedzi, bo:
\(\displaystyle{ L\left( y\right) =\frac{s+5}{s^2+12s+37}=\frac{s+6}{\left( s+6\right)^2+1}-\frac{1}{\left( s+6\right)^2+1}}\)
\(\displaystyle{ y=e^{-6t} \cos t - e^{-6t} \sin t}\)
W drugiej transformacji masz tylko pierwszy czynnik.
\(\displaystyle{ L\left( y\right) =\frac{s+5}{s^2+12s+37}=\frac{s+6}{\left( s+6\right)^2+1}-\frac{1}{\left( s+6\right)^2+1}}\)
\(\displaystyle{ y=e^{-6t} \cos t - e^{-6t} \sin t}\)
W drugiej transformacji masz tylko pierwszy czynnik.