Matematyka.pl

Witam prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku z wytłumaczeniem takiego przykładu. Nie mam pojęcia jak się za to zabrać a strasznie mi zależy żeby to zrozumieć.

\(\displaystyle{ y'= \frac{2y}{x}+x ^{3}}\)

Podstaw \(\displaystyle{ t= \frac{y}{x}}\), wyznacz też \(\displaystyle{ y'}\) z tej równości, podstaw do równania i dalej to już chyba powinieneś umieć je rozwiązać

Nie potrzeba podstawiać wystarczy
czynnik całkujący lub uzmiennianie stałej

\(\displaystyle{ y'= \frac{2y}{x}+x ^{3}}\)

\(\displaystyle{ y'- \frac{2y}{x}=x ^{3}}\)

\(\displaystyle{ y'- \frac{2y}{x}=0\\
y'=\frac{2y}{x}\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }= \frac{2y}{x}\\
\frac{\mbox{d}y}{ y\mbox{d}x }= \frac{2}{x}\\
\frac{ \mbox{d}y}{y}= \frac{2}{x} \mbox{d}x \\
\ln{ \left| y\right| } =\ln{ \left|Cx^{2}\right| }\\
y=Cx^2
}\)

\(\displaystyle{ y=c \left( x\right)x^{2}}\)

\(\displaystyle{ c^{\prime} \left(x \right)x^2+2xc \left(x \right)-2xc \left( x\right)=x^3\\
c^{\prime} \left(x \right)x^2=x^3\\
c^{\prime} \left(x \right)=x \\
c\left(x \right)= \frac{x^2}{2}+C}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{x^4}{2}+Cx^2}\)