Matematyka.pl

Witam, mam problem. Kompletnie nie wiem jak rozwiązać te równania

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \left( x+y \right) ^{2}}\)
rozpisuję ze wzoru skróconego mnożenia, ale nie wiem jak wyznaczyć x i y

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{y}{x} \ln \left( \frac{y}{x} \right)}\)
dochodzę do sytuacji
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{y} = \frac{ \mbox{d}x }{x} \ln \left( \frac{y}{x} \right)}\)

i dalej nie wiem co zrobić

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{2x-y}{x}}\)

tutaj też nie wiem jak się za to zabrać

Podstawienie:
\(\displaystyle{ t=x+y}\)
\(\displaystyle{ t ^{'}=1+y ^{'}}\)
po wstawieniu do Twojego równania masz
\(\displaystyle{ t ^{'} -1=t^2}\)
co jest równaniem o zmiennych rozdzielonych:
\(\displaystyle{ \frac{1}{t^2+1} \mbox{d}t= \mbox{d}x}\)

Kubaniec pisze: \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{2x-y}{x}}\)

tutaj też nie wiem jak się za to zabrać

To jest równanie jednorodne, tzn jest postaci \(\displaystyle{ y'=f\left(\frac{y}{x}\right)}\). Podstaw więc \(\displaystyle{ u(x)=\frac{y}{x}}\).

a co z tym logarytmem?

\(\displaystyle{ t= \frac{x}{y}}\)
\(\displaystyle{ y'= \frac{t-xt'}{t ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{t-xt'}{t ^{2} }=t \ln t}\)

i nie wiem co dalej