Znaleźć rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x \frac{ \partial f}{ \partial x} + y \frac{ \partial f}{ \partial y} = 0}\) spełniające warunek początkowy \(\displaystyle{ f(x,1) = x}\).
Tyle udało mi się zrobić:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{x} = \frac{dy}{y}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{x} = \int_{}^{} \frac{dy}{y}}\)
\(\displaystyle{ ln\left| x \right| + ln\left| C \right| = ln \left| y \right|}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest dowolną stałą.
Zakładam, że \(\displaystyle{ x>0, y>0}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ Cx=y}\), czyli \(\displaystyle{ C= \frac{y}{x}}\).
Z warunku początkowego \(\displaystyle{ f(x,1) = x}\). Podstawiam więc \(\displaystyle{ y=1}\) i otrzymuję \(\displaystyle{ C= \frac{1}{x}}\).
Niestety nie wiem, co mam zrobić dalej. Poproszę o jakieś wskazówki.