Matematyka.pl

Przygotowując się do nieszczęsnej poprawki z analizy :/ natrafiłem na pewien przykład którego nie byłem wstanie sforsować...
Oto on:

\(\displaystyle{ y''+3y'+2y=x ^{3}}\)

Będę wdzięczny za wszelką pomoc w rozwiązaniu tego zadania

Mniemam, iż przy tej dwójce stoi \(\displaystyle{ y}\).
Równanie charakterystyczne ma postać:
\(\displaystyle{ r^2 +3r +2=0}\)
\(\displaystyle{ r=-1 \vee r=-2}\)
Rozw. ogólne rów. róż. jednorodnego:
\(\displaystyle{ y=C_1 e^{-x}+C_2 e^{-2x}}\)
Metodą przewidywań:
\(\displaystyle{ y_1=ax^3+bx^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ y'_1=3ax^2+2bx+c}\)
\(\displaystyle{ y''_1=6ax+2b}\)
\(\displaystyle{ 6ax+2b+9ax^2+6bx+3c+2ax^3+2bx^2+2cx+2d=x^3}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ b=- \frac{9}{4}}\), \(\displaystyle{ c= \frac{21}{4}}\), \(\displaystyle{ d=- \frac{45}{8}}\)
Rozw. szczególne rów. róż. niejednorodnego:
\(\displaystyle{ y_1= \frac{1}{2}x^3- \frac{9}{4}x^2+\frac{21}{4}x-\frac{45}{8}}\)
Rozw. ogólne rów. róż. niejednorodnego:
\(\displaystyle{ y=C_1 e^{-x}+C_2 e^{-2x}+\frac{1}{2}x^3- \frac{9}{4}x^2+\frac{21}{4}x-\frac{45}{8}}\)