Matematyka.pl

Witam, mam problem z rozwiązaniem następującego równania:
\(\displaystyle{ y"-7y'+12y=x}\)
Według wzoru najpierw rozwiązuje je jako jednorodne:
\(\displaystyle{ y"=s ^{2}}\)
\(\displaystyle{ s ^ {2} -7s +12=0}\)
\(\displaystyle{ s _{1}=4 \wedge s_{2}=3}\)
Otrzymuje \(\displaystyle{ y=C_{1}exp(4x) + C_{2} exp(3x)}\)
Liczę pochodne:
\(\displaystyle{ y'=4C_{1}exp(4x) + 3C_{2} exp(3x)}\)
\(\displaystyle{ y"=16C_{1}exp(4x) + 9C_{2} exp(3x)}\)
Podstawiam do równania i otrzymuje \(\displaystyle{ x=0}\)
Według rozwiązania powinno wyjść \(\displaystyle{ y=C_{1}exp(4x) + C_{2} exp(3x) + \frac{12x+7}{144}}\)
Mógłby mi ktoś wytłumaczyć gdzie znajduje się błąd mojego rozumowania?

nie masz błędu, ale nie dokończyłeś rozwiązania

\(\displaystyle{ y=C_{1}exp(4x) + C_{2} exp(3x)}\)

znalazłeś w ten sposób rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

Musisz pamiętać, że rozwiązanie równania różniczkowego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego, oraz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego

Ze względu na prawą stronę równania, po której jest sam \(\displaystyle{ x}\) (funkcja liniowa), przewidujesz rozwiązanie szczególne jako \(\displaystyle{ y=ax+b}\)

Dlaczego akurat \(\displaystyle{ y=ax+b}\) ?

Bo wtedy \(\displaystyle{ y'=(ax+b)'=a, \ \ y''=a' = 0}\)

Czyli kombinacja \(\displaystyle{ y'', \ \ y'}\) oraz \(\displaystyle{ y}\), którą akurat jest \(\displaystyle{ y''-7y'+12y}\), dla \(\displaystyle{ y=ax+b}\) będzie funkcją liniową, stąd przewidujemy właśnie \(\displaystyle{ y=ax+b}\)

Wstawiając pochodne funkcji \(\displaystyle{ y=ax+b}\) do równania \(\displaystyle{ y''-7y'+12y=x}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 0-7a+12(ax+b)=x}\)

\(\displaystyle{ -7a+12ax+12b=x \\ \red 12a\black x+\blue 12b-7a\black =\red1\black x+\blue0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 12a=1 \\ 12b-7a=0 \end{cases} \\ \begin{cases} a=\frac1{12} \\ 12b-\frac7{12}=0 \end{cases} \\ \begin{cases} a=\frac1{12} \\ b=\frac7{144} \end{cases}}\)

Zatem \(\displaystyle{ y=\frac1{12}x+\frac7{144}}\). Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy \(\displaystyle{ y=\frac{12x+7}{144}}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{12x+7}{144}}\) jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego.

Sumując rozwiązanie ogólne równania jednorodnego i rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego, dostajesz ostateczną odp.