Witam, mam problem z rozwiazaniem tego przykladu
\(\displaystyle{ y ^{'} + xy = xy^3}\)
przekształciłem to rownanie, tak zeby z prawej strony nie bylo "y", tylko same "x":
\(\displaystyle{ \frac{y ^{'}}{y^3+y} = x}\)
ale teraz mam problem z obliczeniem calki:
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y^3+y}}\)
nie wiem co robie źe, bo cięzko policzyć taka całke?
rownanie rozniczkowe - metoda uzmienniania stalej
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9724
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2633 razy
rownanie rozniczkowe - metoda uzmienniania stalej
To zwykła całka z funkcji wymiernej - wystarczy rozbić na ułamki proste.
Alternatywnie można też było potraktować równanie jak równanie Bernoulliego i zacząć od podstawienia \(\displaystyle{ u=\frac{1}{y^2}}\)
Q.
Alternatywnie można też było potraktować równanie jak równanie Bernoulliego i zacząć od podstawienia \(\displaystyle{ u=\frac{1}{y^2}}\)
Q.
rownanie rozniczkowe - metoda uzmienniania stalej
rozbilem na ulamki proste
\(\displaystyle{ \frac{a}{y} + \frac{by + c}{y^2 + 1} = 1}\)
obliczylem calke
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{y} + \int \frac{-y}{y^2 + 1} = \ln{y} - \frac{1}{2} \ln{(y^2+1)} + C}\)
no i jak z tego wyznaczyc "y" ? bo chyba jest potrzeby do dalszych obliczen
\(\displaystyle{ \frac{a}{y} + \frac{by + c}{y^2 + 1} = 1}\)
obliczylem calke
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{y} + \int \frac{-y}{y^2 + 1} = \ln{y} - \frac{1}{2} \ln{(y^2+1)} + C}\)
no i jak z tego wyznaczyc "y" ? bo chyba jest potrzeby do dalszych obliczen
-
Juankm
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 16:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 28 razy
rownanie rozniczkowe - metoda uzmienniania stalej
\(\displaystyle{ \frac{y ^{'}}{y^3+y} = x
\newline \\
\frac{\frac{dy}{dx}}{y^3+y} = x
\newline \\
\frac{dy}{y^3+y}= x \cdot dx
\newline \\
\int \frac{dy}{y^3+y}= \int x \cdot dx
\newline \\
\int \frac{dy}{y^3+y}=\int \frac{1}{y} + \int \frac{-y}{y^2 + 1} = \ln{y} - \frac{1}{2} \ln{(y^2+1)} + C=\int x \cdot dx
\newline \\
\ln{y} - \frac{1}{2} \ln{(y^2+1)} + C=\ln{y} - \frac{1}{2} \ln{(y^2+1)} + ln(e^{C})=ln(\frac{y \cdot ln(e^{C})}{(y^2+1)^{\frac{1}{2}}}) = \frac{x^{2}}{2}+C^{*}}\)
\newline \\
\frac{\frac{dy}{dx}}{y^3+y} = x
\newline \\
\frac{dy}{y^3+y}= x \cdot dx
\newline \\
\int \frac{dy}{y^3+y}= \int x \cdot dx
\newline \\
\int \frac{dy}{y^3+y}=\int \frac{1}{y} + \int \frac{-y}{y^2 + 1} = \ln{y} - \frac{1}{2} \ln{(y^2+1)} + C=\int x \cdot dx
\newline \\
\ln{y} - \frac{1}{2} \ln{(y^2+1)} + C=\ln{y} - \frac{1}{2} \ln{(y^2+1)} + ln(e^{C})=ln(\frac{y \cdot ln(e^{C})}{(y^2+1)^{\frac{1}{2}}}) = \frac{x^{2}}{2}+C^{*}}\)
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 4992
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
rownanie rozniczkowe - metoda uzmienniania stalej
A tak w ogóle, to to równanie powinno raczej wyglądać:
\(\displaystyle{ y' = xy^{3} - xy \\ y' = xy(y-1)(y+1) \\ \frac{y'}{(y-1)y(y+1)} = x}\)
\(\displaystyle{ y' = xy^{3} - xy \\ y' = xy(y-1)(y+1) \\ \frac{y'}{(y-1)y(y+1)} = x}\)