Matematyka.pl

Szacuneczek.
Mam problem z rozwiązaniem równania różniczkowego jednorodnego względem x i y.

\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} =y+ \sqrt{y^{2}-x^{2}} \ /:x \\
\frac{dy}{dx}= \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{x}\\
\frac{dy}{dx}= \frac{y}{x} + \frac{ \sqrt{ y^{2} } }{ \sqrt{ x ^{2} } }-1 \\
\frac{dy}{dx}= \frac{y}{x} + \sqrt{( \frac{y}{x} {})^2 } -1 \\
Podstawienie: \\
\frac{y}{x} =t \ \ \ / \cdot x \ \ t=t(x) \\
y=tx \ \ /\frac{d}{dx}() \\
\frac{dy}{dx}=(tx)\prime=\frac{dt}{dx}x+t \\
t+ \sqrt{ t^{2} }-1= \frac{dt}{dx}x+t \\
\frac{dt}{dx}= \sqrt{ t^{2} } \cdot \left( \frac{-1}{x} \right) \ \ /:\sqrt{ t^{2} } \ \ t \neq 0 \\
\frac{1}{ \sqrt{ t^{2} } }\frac{dt}{dx}=\left( \frac{-1}{x} \right) \ \ /\int()dx \\
\int \frac{1}{t} dt=\int( \frac{-1}{x} ) \\
\ln \left\lfloor t \right\rfloor= -\ln \left\lfloor x \right\rfloor + C_{1} \ \ C_{1} \in R \\
\ln \left\lfloor t \right\rfloor=\ln \left\lfloor x \right\rfloor^{-1} + \ln C_{1} \\
\ln \left\lfloor t \right\rfloor=\ln \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor+ \ln C_{1} \\
\ln \left\lfloor t \right\rfloor=\ln \left\lfloor \frac{C_{1}}{x} \right\rfloor \\
t= \frac{C_{1} }{x} \\}\)
Odpowiedż w Krysickim jest zupełnie inna.
Pozdrawiam

EDIT:
W pierwszych dwóch linijkach wkradł się błąd, już poprawiłem.

w trzeciej linijce: -1 na +1 ?

W trzeciej linijce zamiast całego pierwiastka ma być y/x ?

W takim razie jak ten pierwiastek doprowadzić do postaci y/x ? Prosiłbym o podpowiedź.

Wyłączając \(\displaystyle{ x^2}\) przed nawias w wyrażeniu pod pierwiastkiem (na początek).

Ok już wiem (zaczynam pisać od równania różniczkowego o rozdzielonych zmiennych)
Czy całka jest dobrze obliczona?
Jak sprawdzić czy funkcja t, która spełnia równanie \(\displaystyle{ t^{2} -1=0}\) jest rozwiązaniem poniższego równania?
\(\displaystyle{ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \sqrt{ t^{2} -1} \ \ /: \sqrt{ t^{2} -1} \ \ t^{2} -1 \neq 0 \Rightarrow \ t \neq 1 \vee \ t \neq -1 \\
\frac{1}{\sqrt{ t^{2} -1}} \frac{dt}{dx}= \frac{1}{x} \ \ /\int \left( \right) dx \\
\int\frac{1}{\sqrt{ t^{2} -1}}dt=\int\frac{1}{x}dx \\
\int\frac{1}{\sqrt{ t^{2} -1}}dt =\ln | t+ \sqrt{ t^{2}-1 }| \\
\ln | t+ \sqrt{ t^{2}-1 }|= \ln |x| +C \ \ ,C>0 \\
t+ \sqrt{ t^{2}-1}=Cx \\
\frac{y}{x} + \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right) ^{2}-1 } =Cx}\)
Natomiast w odpowiedzi jest
\(\displaystyle{ x^{2} -Cy-C \sqrt{ y^{2}- x^{2} } =0}\)

EDIT: Czy mogę wkleić tutaj obrazek z moim rozwiązaniem w postaci pdf lub jpeg, zamiast korzystać z LateX-a ?

sirtepek pisze: Jak sprawdzić czy funkcja t, która spełnia równanie \(\displaystyle{ t^{2} -1=0}\) jest rozwiązaniem poniższego równania?

\(\displaystyle{ t^2=1}\) stąd \(\displaystyle{ t=1 \vee t=-1}\). Czyli \(\displaystyle{ y=x \vee y=-x}\). Podstaw to do równania i sprawdź, czy jest spełnione dla takich krzywych.

sirtepek pisze: \(\displaystyle{ \frac{y}{x} + \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right) ^{2}-1 } =Cx}\)
Natomiast w odpowiedzi jest
\(\displaystyle{ x^{2} -Cy-C \sqrt{ y^{2}- x^{2} } =0}\)

To jest prawie to samo. Pomnóż swoje rozwiązanie przez \(\displaystyle{ \frac{x}{C}}\) dla \(\displaystyle{ C\neq 0}\).

sirtepek pisze: EDIT: Czy mogę wkleić tutaj obrazek z moim rozwiązaniem w postaci pdf lub jpeg, zamiast korzystać z LateX-a ?

Nie.

Dzięki wielkie za pomoc.
Mam jeszcze pytanie. A co jeśli miałbym równanie \(\displaystyle{ t^{2}+1 =0 \ \Rightarrow t^{2}=-1 \ \Rightarrow t= \sqrt{-1} \ ?}\)
Jak wtedy sprawdzić czy funkcja t spełnia to równanie?

sirtepek pisze: \(\displaystyle{ t^{2}=-1 \ \Rightarrow t= \sqrt{-1} \ ?}\)

Ta implikacja jest zapewne skrótem myślowym, gdyż formalnie nie jest poprawna.

W przypadku \(\displaystyle{ t^2+1=0}\) należy się zastanowić, czy szukasz rozwiązań w dziedzinie/przeciwdziedzinie zespolonej, czy rzeczywistej. W drugim przypadku nic nie robisz.