Matematyka.pl

Mam wyznaczyc rozwiazanie szczegolne równania: \(\displaystyle{ xy' + \frac{xy}{1-x ^{2} }= \frac{2x}{1-x ^{2} }}\)
Wskazac przedzial jednoznacznosci i uzasadnic.

Mam problem z druga czescia zadania, gdyz jej nie rozumie.

rownanie rozwiazalem, wynik to: \(\displaystyle{ y= \left( x+2 e^{3}-1 \right) e ^{- \left( 3x+\ln |x| \right) }}\)

Mnie wychodzi takie rozwiązanie:

\(\displaystyle{ xy'+\frac{xy}{1-x^2}=\frac{2x}{1-x^2}\\\\
xy'=\frac{x(2-y)}{1-x^2}\\\\
\frac{y'}{y-2}=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}\\\\
\ln|y-2|=\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\\\\
y=2+C\sqrt{\left|\frac{x-1}{x+1}\right|}}\)

Jednoznaczność określamy z tw. Picarda.

\(\displaystyle{ y'=\frac{y-2}{x^2-1}=f(x,y)}\)

Warunek Lipschitza:

\(\displaystyle{ |f(x,y_1)-f(x,y_2)|=\left|\frac{y_1-y_2}{x^2-1}\right|=\left|\frac{1}{x^2-1}\right|\cdot|y_1-y_2|}\)

Zatem jednoznaczne rozwiązanie istnieje w przedziale, w którym \(\displaystyle{ \left|\frac{1}{x^2-1}\right|}\) jest ograniczone, czyli w \(\displaystyle{ (-infty,-1-varepsilon],[-1+varepsilon_1,1-varepsilon_2],[1+varepsilon,infty)}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon,\varepsilon_1,\varepsilon_2>0}\)

racja, wyjdzie wynik taki przy czym byl warunek początkowy o którym nie wspomniałem: \(\displaystyle{ y(0)=2}\) czyli \(\displaystyle{ C=0}\)
wiec odpowiedz to: \(\displaystyle{ y=2}\)
co jest oczywiscie zgodne z Twoim rozwiazaniem.
Odpowiedz, pomylkowo przepisalem z innego zadania.

Jeszcze nie do końca pojmuję ta jednoznacznosc, jeszcze jeden przykład
jaka bedzie dla takiej funkcji:
\(\displaystyle{ xy'+(3x+1)y=e ^{-3x}}\)

\(\displaystyle{ |f(x,y_1)-f(x,y_2)|=| \frac{(3x+1)}{x} | \cdot |( y_{2}-y_{1}) |}\)

czy to jest dobry przedział? \(\displaystyle{ (- \infty ,0- \alpha ),(0+ \alpha , \infty)}\)

Tak, trzeba po prostu wyciąć te "nieograniczoności" razem z pewnym dowolnie małym otoczeniem.