Matematyka.pl

Witam. Mam taki problem ze zrozumieniem pewnej kwestii.
Jedną z metod rozwiązywania tych równań jest nieosobliwa zamiana zmiennych.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x} = \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \cdot \frac{ \partial u}{ \partial \xi} + \frac{ \partial \eta}{ \partial x} \cdot \frac{ \partial u}{ \partial \eta}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x^{2} } = \xi_{x} ^{2} \cdot u_{\xi \xi} +2 \xi _{x} \eta_{x} u_{\xi \eta} + \eta_{x} ^{2} \cdot u_{\eta \eta} + \xi_{xx} u_{\xi} + \eta_{xx} u_{\eta}}\)

Może mi ktoś pokazać, jak doszło się do tego wzoru przy drugiej pochodnej u po xx ?

\(\displaystyle{ u_{xx}=(u_{\xi x}\xi_x+u_\xi\xi_{xx}) + (u_{\eta x}\eta_x + u_\eta\eta_{xx})}\)

I teraz rozwiń pochodne funkcji \(\displaystyle{ u_\eta \quad u_\xi}\) po x-ie wg wzoru:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial \,\cdot}{ \partial x} = \frac{ \partial \xi}{ \partial x} \cdot \frac{ \partial \,\cdot}{ \partial \xi} + \frac{ \partial \eta}{ \partial x} \cdot \frac{ \partial \,\cdot}{ \partial \eta}}\)

Czy w tym wyrażeniu , gdzie stoi wolna liczna 2 (w wyniku dodania tych samych członów do siebie) można tak zrobić? Niby gdy podstawiłem do tego wzoru na pochodne po x ksi i x eta funkcji u, to najpierw różniczka jest po ksi a potem po eta a dalej jest na odwrót, czyli najpierw po ksi a potem po eta. Założono tutaj, że pochodne cząstkowe 2 stopnia są sobie po prostu równe?

Nie tyle założono, co w ogólności jest to prawdą, na podstawie twierdzenia Schwarza.

Faktycznie racja. Zapomniałem o tym tw. Dzięki