równanie rodziny ortogonalnej

mar0589 · Post autor: **mar0589** » 10 sie 2009, o 11:46

Witam! Nie wiem jak znaleźć równanie do rodziny elips:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =c}\), gdzie a i b są ustalone, a c>0 i jest dowolną liczbą.

Post autor: **luka52** » 10 sie 2009, o 15:17

Troszkę pokombinujmy - przekształcimy dane równanie rodziny elips do postaci:

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2 C} + \frac{y^2}{b^2 C} - 1 = 0 \quad (\star )}\)

Dalej wyznaczamy równanie różniczkowe tej rodziny krzywych poprzez zróżniczkowanie po \(\displaystyle{ x}\) równania \(\displaystyle{ (\star )}\) i wyrógowanie z tak powstałych równań parametru \(\displaystyle{ C}\). Otrzymamy więc:

\(\displaystyle{ \frac{2 \left(b^2 x+a^2 y y' \right)}{b^2 x^2+a^2 y^2}=0}\)

Mianownika można się ,,pozbyć' tak jak i 2 w liczniku. Ostatecznie należy dokonać podstawienia \(\displaystyle{ y' \to - \tfrac{1}{y'}}\) i rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ b^2 x - \frac{a^2 y}{y'} = 0}\)

W równaniu tym bez problemu dokonujemy rozdzielenia zmiennych, a wynik to \(\displaystyle{ y = C x^{\frac{a^2}{b^2}}, \; C \in \mathbb{R}}\).