Matematyka.pl

Mam przykład:

\(\displaystyle{ y''+ \frac{4}{x}y'+ \frac{2}{ x^{2} }y= \frac{ e^{x} }{ x^{2} } dla x>0}\)


Dalej w wykładach napisali, że funkcje \(\displaystyle{ x= \frac{1}{x}, x>0}\) i \(\displaystyle{ y= \frac{1}{ x^{2} }, x>0}\) są rozwiązaniami szczególnymi równania jednorodnego. Może mi ktoś wyjaśnić skąd to się wzięło ?

Trochę się bawiłem i jak rozwiązałem \(\displaystyle{ \frac{4}{x}y'+ \frac{2}{x ^{2} }y=0}\)
to mi wyszło, że \(\displaystyle{ y= \frac{1}{x ^{2} }}\), ale czemu akurat robi się to bez y' i gdzie te 2 rozwiązanie y=1/x to dalej nie wiem. ;(

To jest równanie różniczkowe Eulera. Jeżeli do równania jednorodnego podstawisz \(\displaystyle{ y = x^r}\), to całką ogólną r. jednorodnego będzie \(\displaystyle{ y = C_1 x^{r_1} + C_2 x^{r_2}}\), gdzie \(\displaystyle{ r_{1,2}}\), to pierwiastki równania charakterystycznego.