Matematyka.pl

Witajcie ponownie,
popchnijcie do przodu w przykładzie :

\(\displaystyle{ (x-y)dx + xdy = 0}\) przy \(\displaystyle{ y(-1) = 0}\)

Z góry dziękuję.

Możesz sprowadzić to równanie do równania różniczkowego zupełnego, np. znajdując czynnik całkujący (jeśli się nie pomyliłem, to w tym przykładzie wyjdzie na przykład \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}}\)). Na wikipedii masz opis, jak rozwiązuje się . Jakbyś miał z czymś problem, to pisz.

Można też tak:
\(\displaystyle{ x \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } =-x+y \\ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } =-1+ \frac{y}{x}}\)
Podstawienie: \(\displaystyle{ t= \frac{y}{x}}\) daje równanie:
\(\displaystyle{ t+xt ^{'} =-1+t}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}t= \frac{-1}{x} \mbox{d}x}\)
Poradzisz sobie dalej?



Albo rozwiązywać jako równanie liniowe
\(\displaystyle{ y ^{'}- \frac{1}{x}y=-1}\)
Nie znam metody jaką je rozwiązujesz na uczelni więc nic więcej nie piszę .

Po całkowaniu obustronnie mamy :

\(\displaystyle{ t = -1 ln x + C}\)
\(\displaystyle{ t = -1 ln x + ln C}\)
\(\displaystyle{ t = -1 ln xC}\)

Czy trzeba zadziałać liczbą e?

\(\displaystyle{ \frac{y}{x} = -1 lnxC}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{-1 lnxC}{x}}\)

Skoro ma być jednorodne to chyba trzeba zastosować pomysł użytkownika kerajs,

syrek pisze:Po całkowaniu obustronnie mamy :
\(\displaystyle{ t = -1 ln x + C}\)
\(\displaystyle{ t = -1 ln x + ln C}\)
\(\displaystyle{ t = -1 ln xC}\)

Raczej
\(\displaystyle{ t = - \ln x + \ln C}\)
\(\displaystyle{ t = \ln \frac{C}{x}}\)

syrek pisze:Czy trzeba zadziałać liczbą e?

Nie.

\(\displaystyle{ \frac{y}{x} = \ln \frac{C}{x}}\)
\(\displaystyle{ y =x \ln \frac{C}{x}}\)

Z warunkiem początkowym dasz sobie radę sam.
Sugeruję rozwiązać to zadanie jeszcze raz, jako równanie liniowe, i porównać wyniki..

Rzeczywiście. Liniowe jest troszkę (jak dla mnie) mniej zagmatwane a wynik jest identyczny.

Mam też inny przykład o tym samym poleceniu.

\(\displaystyle{ (1-x ^{2}) y' + xy = 1}\)

Jak je przerobić na łatwiejszą postać?

Równanie liniowe znowu.

Tylko nie bardzo mam pomysł...

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x ^{2} } - \frac{x}{1+x ^{2} } - \frac{y}{1+x ^{2} }}\) ?

Też liniowe ale inne od tego co wyżej

Mój post wyżej to próba rozpisania przykładu \(\displaystyle{ (1-x ^{2}) y' + xy = 1}\).

Bo źle podzieliłeś. Powinno wyjść:
\(\displaystyle{ y^{'}+ \frac{x}{1-x^2}y= \frac{1}{1-x^2}}\)

Co zrobić z tym dalej?
Przerzucam stronami i mi brednie zaczynają wychodzić.

To jest równanie liniowe. Rozwiążę je metodą uzmienniania stałej.
RJ:
\(\displaystyle{ y^{'}+ \frac{x}{1-x^2}y=0 \\ y^{'}= \frac{x}{x^2-1}y \\ \frac{1}{y} \mbox{d}y =\left( \frac{ \frac{1}{2} }{x-1}+ \frac{ \frac{1}{2} }{x+1}\right) \mbox{d}x \\ \int_{}^{} \frac{1}{y} \mbox{d}y = \int_{}^{} \left( \frac{ \frac{1}{2} }{x-1}+ \frac{ \frac{1}{2} }{x+1}\right) \mbox{d}x \\ \ln y= \frac{1}{2} \ln (x-1)+ \frac{1}{2} \ln (x+1)+C \\ \ln y= \frac{1}{2} \ln (x-1)(x+1) \ln C \\ \ln y= \ln C \sqrt{ x^2-1 } \\ y=C \sqrt{x^2-1}}\)
Uzmienniam stałą i wyrażenia:
\(\displaystyle{ y=C(x)\sqrt{x^2-1} \\ y^{'}=C^{'}(x) \sqrt{x^2-1}+C(x) \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x}\)
wstawiam do równania niejednorodnego otrzymując:
\(\displaystyle{ C^{'}(x) \sqrt{x^2-1}+C(x) \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}+\frac{x}{1-x^2}C(x) \sqrt{x^2-1} =\frac{1}{1-x^2}\\
C^{'}(x) =\frac{-1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}\\
C(x)= \int_{}^{} \frac{-1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}} \mbox{d}x = \frac{-x}{\sqrt{x^2-1}}+K}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ y=\left( \frac{-x}{\sqrt{x^2-1}}+K \right) \sqrt{x^2-1}=K \sqrt{x^2-1}-x}\)